二刻尺作图

二刻尺（希腊语：νεῦσις、拉丁转写：neuein）是一种几何作图的工具，是上面有二个刻度的直尺（刻度可以在作图过程中标示），因此可以记录长度。

二刻尺作图

二刻尺在古希腊时期曾经和圆规、（无刻度的）直尺一样是在尺规作图中合法的作图工具。而后来的尺规作图多限定只能使用无刻度的直尺，不允许使用二刻尺。

构造

二刻尺介于刻度尺和尺规作图中的尺之间，既不同于日常使用的刻度尺（有许多刻度），也不同于尺规作图中的尺（没有刻度）。二刻尺有两个刻度，使得二刻尺上有某一固定长的线段。尺规作图中的尺，可视为画无限长的直线工具，二刻尺可看作这种尺上任意添加了点A和点B两个点（AB两点长度固定却不确定某一数值）。

使用方法

尺规作图中的尺只能用来将两点连接起来。而二刻尺除了可以将两点连接起来，还有以下用法：假设尺上的两刻度距离为a，有两条线l、m和点P，可以用二刻尺找到一条通过P的直线，使得此直线与直线l和m的两个交点间的距离为a。

如图，有两条线l、m和点P。可以将尺与点P对齐，并让其中一个刻度保持在l（图中黄点）上，慢慢转动尺 (允许尺贴着P滑动)，直到另一个刻度碰到m（图中蓝点），此线即为所求（图中深蓝色线）。

几何作图

二刻尺可以解出单用直尺和圆规无法解决的问题，例如三等分角和正七边形。

 
用二刻尺做三等分角

三等分角

主条目：三等分角
  • 已知角a，以B点为圆心，二刻尺刻度间距为半径画圆。
  • 角a的两边其中一边交圆于A点，并画另一边的延长线。
  • 将二刻尺固定在A点，并将两刻度一个移到圆上，另一个移到角a一边的延长线上，分别称为C点和D点。（即是使CD = AB）
  • 角b即为角a的三等分角。
 
用二刻尺作正七边形

正七边形

主条目：正七边形
  • 以二刻尺刻度的间距画正方形CDEF。
  • 以E点为圆心，CE为半径画圆E。
  • 做DE的中垂线。
  • 将二刻尺固定在D点，并将两刻度一个移到圆E上，另一个移到DE的中垂线上，分别称为B点和A点。
  • 做三角形ADE的外接圆O。
  • 以二刻尺刻度的间距为半径，画出G、H、I、J四点。
  • D、E、G、H、A、I、J七点即为正七边形。

特定正多边形

基本上，正n边形可以由二刻尺作图建构当n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ，这是根据正十一边形的结果衍生而得。[1]

不过当n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ，就无法借由二刻尺完成作图。

但目前仍然不知道对于以下的n，正n边形能不能二刻尺作图：

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...

倍立方

主条目：倍立方
 
用二刻尺作倍立方
  • 以二刻尺刻度的间距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共线。
  • 将二刻尺固定在A点，并将两刻度一个移到CD的延长线上，另一个移到BC的延长线上，分别称为G点和H点。
  • AG的长度就是二刻尺刻度的间距的 倍。

二刻尺的没落

数学史学家T.L.希思（英语：T. L. Heath）（T. L. Heath）认为古希腊数学家恩诺皮德斯[a]（公元前440年左右）是第一个把圆规和直尺的地位提高的人。这种避免使用二刻尺的理念多少影响了同一时期、同一座岛上的几何学家希俄斯的希波克拉底（英语：Hippocrates of Chios）（Hippocrates of Chios，不是医师希波克拉底）[b]（公元前430年左右）。100年后，欧几里得在其著作中也尽量避免使用二刻尺作图。

公元前4世纪，受到柏拉图的理念论影响，尺规作图被分成三个等级。这三个等级分别是：

  1. 只用圆和直线作图（一般的尺规作图）。
  2. 除了圆和直线，允许使用圆锥曲线作图（椭圆、抛物线、双曲线）。
  3. 使用其他方法作图（例如：二刻尺、阿基米德螺线）。

二刻尺被放在第三级是因为它可以解决前两级所不能解决的问题[c]，因此二刻尺被当成解决问题的最终手段，这种简单而有力的作图工具也逐渐被当成不正当的作图工具。希腊数学家亚历山大里亚的帕普斯（Pappus of Alexandria，公元前325年左右）认为：“这是一个不小的错误”。

注释

  1. ^ 恩诺皮德斯是最早提出尺规作图原则的人。
  2. ^ 希波克拉底是我们目前所知第一个将几何作图条理化的人
  3. ^ 直尺、圆规和圆锥曲线最多只能解决二次方程的题目，而二刻尺至少可以解决三次方程的题目。

参考文献

  • R. Boeker, 'Neusis'， in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894-), Supplement 9 (1962) 415-461.（德文）
  • The Mathematical Gazette（页面存档备份，存于互联网档案馆）， Vol. 59, No. 407 (Mar., 1975), pp. 17-21

外部链接

参见

  1. ^ BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753