几何中心

n 空间中一个对象X几何中心形心是将X分成相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说,它是X中所有点的平均。如果一个物件质量分布平均,形心便是重心

三角形的中心

如果一个对象具有一致的密度,或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心,那么它的几何中心和质量中心重合,该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心,可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性质

一个对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部,比如一个环或的几何中心不在内部。

三角形的中心

   

形心三角形的几何中心,是指三角形的三条中线顶点和对边的中点的连线)交点[1]

三条中线共点证明

 
三条中线共点证明

塞瓦定理逆定理可以直接证出:

 

因此三线共点。[2]

中心分每条中线比为2:1,这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示:

如果三角形是由均匀材料做成的薄片,那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说,如果三顶点位于  ,和 ,那么几何中心位于:

 

三角形的中心一般用字母G表示。在任何一个三角形中,外心O、中心M九点圆圆心F垂心H四点共线,且 。这个定理最早由欧拉证明,故称为欧拉线定理,这条线称为欧拉线。类似的有,内心I、中心G奈格尔点N三点共线,且 

三角形中心的等角共轭点称为类似重心

中心分中线为2:1的证明

设三角形ABC的中线ADBECF交于三角形的中心G,延长AD至点O使得

 

那么三角形AGEAOC 相似(公共角AAO = 2 AGAC = 2 AE),所以OC平行于GE。但是GEBG的延长,所以OC平行于BG。同样的,OB平行于CG

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分,对角线GOBC的交点使得GD = DO,这样

 

所以, ,或 ,这对任何中线都成立。

性质

  • 三角形的重心与三顶点连线,所形成的三个三角形面积相等。
  • 顶点到重心的距离是中线 
  • 重心、外心垂心九点圆圆心四点共线。
  • 重心、内心奈格尔点类似重心四点共线。
  • 三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
  • 直角座标系中,若顶点的座标分别为   ,则重心的座标为:
 
 

四面体的中心

类似三角形的中心的结论对四面体也成立,四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何 -维单形。如果单形的顶点集是 ,将这些顶点看成向量,几何中心位于:

 

多边形的中心

一个由N个顶点(xi , yi确定的不自交闭多边形的中心能如下计算:[3]

记号( xN , yN与顶点( x0 , y0相同。多边形的面积为:

 

多边形的中心由下式给出:

 
 

有限点集的中心

给定有限点集  属于 ,它们的中心定义 

 

面积中心

面积中心和质量中心非常类似,面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的,质量中心将位于面积中心。[4]

对于两部分组成的图形,将有如下等式:

 

 是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。 是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时,先计算各部分的面积中心,然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心:

 
 

这里从y-轴到中心的距离是 ,从x-轴到中心的距离是 ,中心的坐标是 

积分公式

一个平面图形的中心的横坐标x轴)由积分

 给出。

这里fx)是对象位于在横坐标xy轴上的长度,是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率,x-轴表示欲求平均值的变量,那么沿着x-轴的中心即  。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数n,由相同的公式得出 中一个对象的中心第一个坐标,假设f (x)是对象在坐标x的截面(也就是说,对象中第一个坐标为x的所有点的集合)的(n-1)-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的,在f为正规时,即分母为1,中心也称为f平均

当对象的测度为0或者积分发散,这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上,分比为3:1。

对称中心

如果中心确定了,那么中心是所有它对称群不动点。从而对称能全部或部分确定中心,取决于对称的种类。另外可以知道,如果一个对象具有传递对称性,那么它的中心是不确定的或不在内部,因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心

地理学中,地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心

参见

参考文献

  1. ^ 几何原本 
  2. ^ Area Centroid. [2008-10-16]. (原始内容存档于2008-10-20). 

外部链接