塞瓦定理

塞瓦线段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（英语：Ceva's theorem）指出：如果 $\triangle ABC$ 的塞瓦线段AD 、BE、CF 通过同一点O，则

三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部

三条线段的交点O 位于三角形ABC的外部

{\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在 $\triangle ABC$ 的边BC、CA、AB或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足

{\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1

，

则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明，因而得名。此定理又译西瓦定理或帅氏定理。

证明

\because \quad {\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}.

由等比性质,

{\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}-\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}-\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}.

同理

{\frac {CE}{EA}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}},\;{\frac {AF}{FB}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}.

\therefore \quad {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}=1.

证毕。

在三角形 $ABC$ ，角A的角平分线交 $BC$ 于 $D$ ， ${\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$ 。