质心

质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义，而重心则否。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。对于密度均匀、形状对称分布的物体，其质心位于其几何中心处^[3]。

在两质点系统中，取质心为原点，两质点连线为x轴，则两质点坐标${\displaystyle x_{1}}$ 和${\displaystyle x_{2}}$ 与质量${\displaystyle m_{1}}$ 与${\displaystyle m_{2}}$ 有如下关系：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}}$ ^[3]

双星互绕时它们的质心位置：

重力作用的平均位置，定义为各质点相对于重心(质心)的位置向量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。

均匀重力场

在地球表面附近，重力场可被认定为均匀且平行向下，所以重心会等同于质心。 在物理学，使用“质心”来表示质量分布的好处，从以合力来考虑连续体的重力可以看出。考虑一个体积为V的体系（不一定是刚体），并设在物体内位置矢量为r的点的密度为ρ(r)。在均匀的重力场中，每个点r的场的作用力f由下式给出：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g{\vec {k}}=-\rho (\mathbf {r} )dV\,g{\vec {k}},}$ 

其中dm是在点r的质量，g 是重力加速度，以及k 是定义垂直方向的单位向量。 在这个体系中选择位置矢量为R的点为参考点，计算出点r所受的合力：

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV(-g{\vec {k}})=-Mg{\vec {k}},}$ 

以及点r相对点R合力矩：

${\displaystyle \mathbf {T} =\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times (-g\rho (\mathbf {r} )dV{\vec {k}})=\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV\right)\times (-g{\vec {k}}).}$ 

如果这个参考点R正好选在质心，则有

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV=0,}$ 

这就意味着合力矩T=0。因为其合力矩为零，可以视为体系所有的质量集中于质心，而没有体系自身转动的效应。

非均匀重力场

常用于天体力学

平行场

一些不均匀的引力场中可以通过可变但并行的场来建模： g(r) = g(r)n,其中n是一些常数单位矢量。虽然不均匀的引力场不能完全平行，但如果物体足够小，这种近似可能是有效的。^[4]然后可以将重心定义为构成组成物体位置的特定加权平均值。即是质心平均超过每个粒子的质量，重心平均超过每个粒子的重量：

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}$ 

此处 ${\displaystyle \mathbf {w} _{\mathrm {i} }}$  是 i粒子和W 所有粒子的（标量）总重量。^[5] 该方程始终具有独特的解决方案，并且在并行场近似中，它与扭矩要求兼容。.^[6] 一个常见的例子涉及地球领域的月亮。使用加权平均定义，月球的重心比其质心更低（更接近地球），因为它的下部受地球引力的影响更大。^[7]

(以下为未翻译内容，欢迎协助翻译)

• 二体问题

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