整性

以下所论的环皆为含单位元的交换环。

设有环A、B，A为B的子环。设t∈B。若存在以A中元素为系数的首一多项式P∈A[X]，使得P(t) = 0，则称t是A上的整元素。如果B的每个元素都是A上的整元素，则称B为A的整扩张。

假设同上。环的乘法与加法运算赋予 ${\displaystyle B}$  自然的 ${\displaystyle A}$ -模结构。对于一个元素 ${\displaystyle b\in B}$ ，下述条件彼此等价：

1. ${\displaystyle b}$  在 ${\displaystyle A}$  为整。
2. 子环 ${\displaystyle A[b]}$  是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模。
3. 存在包含 ${\displaystyle A\cup \{b\}}$  的子环 ${\displaystyle C\subset B}$ ，而且 ${\displaystyle C}$  是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模。

此命题最常见的证明是利用关于行列式的凯莱-哈密顿定理。

• （整闭包）利用有限性的刻划，可知 ${\displaystyle A}${\displaystyle A}   上的整元构成 ${\displaystyle B}$  的子环，称为 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle B}$  中的整闭包。
• （可递性）考虑环扩张 ${\displaystyle A\subset B\subset C}$ ，若 ${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle A}$  的整扩张，而 ${\displaystyle c\in C}$  在 ${\displaystyle B}$  上为整，则它在 ${\displaystyle A}$  上为整。特别是：若 ${\displaystyle B/A}$ 、${\displaystyle C/B}$  皆为整扩张，则 ${\displaystyle C/A}$  亦然。

在整性的定义中，子环条件 ${\displaystyle A\subset B}$  可以放宽为一个同态 ${\displaystyle f:A\to B}$ ，${\displaystyle b\in B}$  在 ${\displaystyle A}$  上的整性定义为它对同态像 ${\displaystyle f(A)}$  的整性，整扩张的定义可以类似地推广。透过同态 ${\displaystyle f:A\to B}$ ，同样可赋予 ${\displaystyle B}$  一个 ${\displaystyle A}$ -模结构，此时有限性判准依然成立。

• Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9