代数数域

预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 。

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域^{[N 1]}L称为“F（添加S中元素得到）的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组：${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ 。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张

设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作[L : F]。

定义

若域L是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张，则称之为代数数域^[3]:3。

最小最基本的代数数域是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 。因为${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 自身是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，维数是1。因此${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 自身的域扩张，${\displaystyle [\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.}$ 

高斯有理数${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ （i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

${\displaystyle a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q} }$ 

的数构成的集合。可以证明，${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ 是域，而且是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，以${\displaystyle \{1,i\}}$ 为基，空间维数是2。所以${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ 是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的二次扩张，${\displaystyle [\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.}$ 

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，以${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}$ 为基，空间维数是2，即${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.}$ 

考虑多项式方程${\displaystyle x^{n}=1}$ 的n个复根${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}$ ，它们被称做n次单位根，具体可以写作：

${\displaystyle \xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.}$ 

在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中添加${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}$ 得到的扩域称为n次分圆域，记作${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}$ 。可以证明${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}$ 是有限维${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，维数为${\displaystyle \varphi (n)}$ （${\displaystyle \varphi }$ 是数论中的欧拉函数），即${\displaystyle [\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).}$ 

实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 和p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 都不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 和全体代数数构成的域${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数^{[N 2]}。给定一个代数数域L，依定义，域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subset L}$ 是有限扩张。设其次数为正整数m^{[N 3]}。将L看作是m维${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，在L中任意选一个不属于${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的数z，它可以被看作是m维${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量：

${\displaystyle 1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}}$ 

它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数：${\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}}$ ，使得：

${\displaystyle a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{m}z^{m}=0}$ .

考虑非零多项式${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}}$ ，${\displaystyle P(z)=0}$ ，即z是多项式${\displaystyle P}$ 的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数^[3]:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 。例如${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的代数整数环就是${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，因此在代数数域研究中${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 与${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 有不同的代数性质。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 不一定是唯一分解整环。举例来说，设${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$ ，F中的整数环是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 。${\displaystyle 2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}}$ 都是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 中的“素数”^{[N 4]}。正整数6，作为${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 中的元素，它的素因数分解有两种方式：

${\displaystyle 6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$ 

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论^[4]。代数数论中一个重要的事实是：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来^[2]。

整数基

设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合：

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}}$ 

使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合^{[N 5]}，即：

${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {O}}_{F},\;\;\exists !\;(m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$ ，使得${\displaystyle x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.}$ 

换句话说，整数基B是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 作为自由${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

${\displaystyle \forall x\in F,\;\;\exists !\;(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ，使得${\displaystyle x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.}$ 

这说明B是F作为n维${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有${\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}}$ 都是有理整数。

乘幂基

设F为n次代数数域。作为n维${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -向量空间，F包含如下形式的基：

${\displaystyle B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}}$ 

其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subset F}$ 的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（monogenic field）。

• 狄利克雷单位定理, S-单位
• 库默尔扩张
• 闵可夫斯基定理 几何数论
• Chebotarev稠密定理
• 射线类群
• 分解群
• 亏格域

• Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2  请检查|date=中的日期值 (帮助)
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
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• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995