伯努利多项式

伯努利多项式 B_n 有多种表示法，可视情况选用。

代数法

当 n ≥ 0 时，

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}x^{n-k},}$ 

其中b_k 则为 伯努利数

函数法

伯努利多项式的母函数是

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$ 

欧拉多项式母函数是

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$ 

微分法

伯努利多项式亦可表示为微分的形式

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$ 

其中 D = d/dx 是一个关于x的微分式，上述分式可以展开得到形式幂级数

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.}$ 

积分法

伯努利多项式的多项式f可以通此积分方程求得

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$ 

通过积分变换得到

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$ 

多项式f 等价于

${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}$ 

这可以用来求解伯努利多项式的反函数。