阿佩尔序列

最常见的阿佩尔序列的定义就是以上的

• 对所有的 n = 1, 2, 3, ...,

  ${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$ 

  并且 p₀(x) 是一个非零常数

的关系式。此外，以下的条件也可以被验证是与之等价的：

1. 纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};}$ 

2. 纯数数列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 满足 c₀ ≠ 0，并且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},}$ 

   其中 ${\displaystyle D={d \over dx};}$ 

3. 对所有的 n = 0, 1, 2, ...,

   ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.}$ 

假设

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$ 

其中后一个等式是在以x为不定元的多项式构成的线性空间中的线性算子 S 的定义式。并定义：

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}}$ 

为 S 的逆算子，其中的系数 a_k 是形式幂级数的逆系数。这样得到

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$ 

在影子演算的约定中，算子 T 一般被用来代表阿佩尔序列 {p_n}，可以定义对数算子：

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)}$ 

运用通常的 log(1 + x) 的幂级数展开表达式以及通常的复合形式幂级数定义后，可以得到：

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$ 

当阿佩尔序列是埃尔米特多项式的时候，这个关系式也可以变化为埃尔米特多项式的递推公式。

• 谢弗序列
• 影子演算
• 广义阿佩尔多项式
• Wick积

• Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2^e série, tome 9, 1880.
• Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978).
• G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications. 
• Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 0-677-04150-0. 

• MathWorld中的阿佩尔序列 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）