埃尔米特多项式

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式（又记作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}$ ）：

${\displaystyle (1)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$ 

另一种是物理学中较为常用的形式（又记作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}$ ）：

${\displaystyle (2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$ 

${\displaystyle }$

这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}$ 

概率论中常用第一种定义，因为${\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}$ 是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

多项式H_n 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2ⁿ。

正交性

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$    （概率论）

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$    （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$ 

除此之外，还有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}$    （概率论）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}$    （物理学）

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$ 是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$ 

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}$ 

埃尔米特微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$ 

方程的的边界条件为：${\displaystyle u}$ 应在无穷远处有界。

其中${\displaystyle \lambda }$ 是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取${\displaystyle \lambda }$ ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。对于一个特定的本征值${\displaystyle \lambda }$ ，对应着一个特定的本征函数解，即${\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}$ 。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}$ 

其本征值同样为${\displaystyle \lambda }$ ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$ ，对应的本征函数解为${\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}$ 。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

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