正交多项式

函数 $W(x)$ 若在区间(a,b)可积，且 $W(x)\geq 0$ ，则可作为权函数。

对于一个多项式的序列 ${f_{i}}$ 和权函数 $W(x)$ ，定义内积 $:\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx$

若 $n\neq m$ ， $\langle f_{m},f_{n}\rangle =0$ ，这些多项式则称为正交多项式（英语：Orthogonal Polynomials）。

若 ${f_{i}}$ 除了正交之外，更有 $\langle f_{n},f_{n}\rangle =1$ 的话，则称为规范正交多项式。

例子

若权函数为1，区间为(-1,1)， $f_{0}(x)=1$ ，对应的正交多项式有：

f_{1}(x)=x\,

f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,

f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,

f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,

\vdots

它们称为勒让德多项式。

对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。

常见的正交多项式

性质

递归方程

$f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}$

其中 $b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle$

实根：所有正交多项式系中的正交多项式都有 $n$ 个实根，这些根是相异且在正交区间之内。
奇偶性：若 $W(x)$ 为偶函数，且正交区间为 $(-a,a)$ ，则有 $f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)$ 。

外部链接

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 互联网档案馆）
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Springer Online Reference Works)