积分变换

积分变换（integral transform）是数学中作用于函数的算子，用以处理微分方程等问题。常见的有傅里叶变换﹑拉普拉斯变换等。

概述

以一变数为 $t$ 的函数 $f(t)$ 为例， $f(t)$ 经过一积分转换 $T$ 得到 $Tf(u)$ ：

(Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt

其中 $K$ 是个确定的二元函数, 称为此积分变换的核函数（kernel function）或核（nucleus）。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。 $f(t)$ 称为象原函数， $Tf(u)$ 称为 $f(t)$ 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。

有些积分变换有相对应的反积分变换（inverse transform），使得

f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf)(u)\,du

而 $K^{-1}(u,t)$ 称为反核（inverse kernel）。

积分变换表

积分变换	符号	核K	f(t)	t₁	t₂	反核K⁻¹	u₁	u₂
阿贝尔积分变换（英语：Abel transform）	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		u	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$ ^[1]	t	$\infty$
相关 Legendre 变换（Associated Legendre transform）	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
傅里叶变换	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
傅里叶正弦变换	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
傅里叶余弦变换	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	0	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	0	$\infty$
汉克尔变换		$t\,J_{\nu }(ut)$		0	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	0	$\infty$
Hartley变换（英语：Hartley transform）	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Hermite变换（英语：Hermite_transform）	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
希尔伯特变换	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Jacobi变换（英语：Jacobi_transform）	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Laguerre变换（英语：Laguerre_transform）	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
拉普拉斯变换	${\mathcal {L}}$	e^−ut		0	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Legendre变换（英语：Legendre_transform_(integral_transform)）	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
梅林变换	${\mathcal {M}}$	t^u⁻¹		0	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[2]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
双边拉普拉斯变换	${\mathcal {B}}$	e^−ut		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
泊松核（英语：Poisson kernel）		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		0	2π
拉东变换	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
魏尔斯特拉斯变换（英语：Weierstrass transform）	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
X-ray变换（英语：X-ray_transform）	Xƒ			$-\infty$	$\infty$
狄拉克δ函数		$\delta (u-t)\,$		$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

在反积分转换中, 常数c 由积分函数决定。

参见

^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .
^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

[1] Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .

[2] Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

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[2]