拉东变换

若函数${\displaystyle f}$ 表示一个未知的密度，对${\displaystyle f}$ 做拉东变换，相当于得到${\displaystyle f}$ 投影后的讯号，举例来说：${\displaystyle f}$ 相当于人体组织，断层扫描的输出讯号相当于经过拉东变换的${\displaystyle f}$ 。 因此，可以用拉东反变换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。

拉东变换后的讯号称作正弦图（sinogram），因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对一些小点的拉东变换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

拉东变换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、macromolecular assemblies的电子显微镜例如：病毒、Reflection seismology、蛋白质复合体，而且也是双曲线偏微分方程的解。

令密度函数${\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}$ 是一个的定义域为 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$  的紧支撑。令${\displaystyle {\cal {R}}}$ 为拉东变换的运算子(operator)，则${\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)}$ 是一个定义在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$ 空间中的直线${\displaystyle L}$ ，它的定义如下

${\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}$ 

可以把直线 ${\displaystyle L}$ 改写成一个弧长${\displaystyle z}$ 的参数式

${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$ 

${\displaystyle s}$ 是直线${\displaystyle L}$ 和原点的距离，而${\displaystyle \alpha }$ 是垂直于${\displaystyle L}$ 的法线和${\displaystyle x}$ 轴的夹角， 接下来，我们可以令${\displaystyle (\alpha ,s)}$ 当作${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$ 平面上的新坐标系统，把这个坐标变换带入到拉东变换得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}$ 

更进一步，我们可以把${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$ 推广到${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ 的欧几里得空间，对一个紧支撑的连续函数${\displaystyle f}$ 做拉东变换后的函数${\displaystyle {\cal {R}}f}$ 是定义在 ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ 的超平面上，

${\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}}$ 

积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure)，而${\displaystyle d\Delta }$ 是原本的${\displaystyle |d{\bf {x}}|}$ 的高维推广。可以观察到对${\displaystyle \Sigma _{n}}$ 里的任意元素， 都是某个轨迹方程式的解

${\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}$ 

而${\displaystyle \alpha }$ 是一个单位向量且属于${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}$ ，${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ，n维的拉东变换可以改写成定义在 ${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}$ 上的函数

${\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}$ 

也可以借由其他方式将拉东变换推广，也就是对${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ 的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。 而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

主条目：Projection-slice theorem

拉东变换和傅里叶变换之间有很强的关联性。单变量的傅里叶变换的定义是

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}$ 

而双变量${\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}$ 的傅里叶变换是

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}$ 

把拉东变换的运算子的表记从${\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}$  改成 ${\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}$ 。根据Projection-slice theorem学说，

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ 

因此一个初始函数沿着一条线倾角${\displaystyle \alpha }$ 的二维的傅里叶变换，相当于对拉东变换做一维的傅里叶变换。这个结果可以推广到n维

${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}$ 

对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随。令在空间${\displaystyle \Sigma _{n}}$ 上的函数${\displaystyle g}$ ，而对偶拉东变换的运算子定义为${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$ 。作用在${\displaystyle g}$ 上

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}$ 

积分的范围是所有和${\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}$ 相交的超平面集合，而测度(measure)${\displaystyle d\mu }$ 是集合${\displaystyle \xi |x\in \xi }$ 特殊的概率测度(Probability measure)， 当对着${\displaystyle x}$ 旋转时，${\displaystyle d\mu }$ 的值不会改变

对于一个二维的拉东变换，其对偶变换是

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }$ 

在影像处理的文章中，对偶变换经常被称作反向传播算法(back propagation) ^[2]， 因为

交结性质

根据拉普拉斯算子${\displaystyle \Delta }$ 在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ 的定义是

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$ 

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ，半径的二阶导数

${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ 

也是旋转不变性。 而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}$ 

重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数${\displaystyle f}$ 。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

拉东反变换公式

对于二维拉东变换，最常被使用的解析公式(analytical formula)${\displaystyle f}$ ，是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式，反变换公式为

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }$  ^[3]

函数${\displaystyle h}$ 满足${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$ ^[4]，卷积核 (convolution kernel) ${\displaystyle h}$ 在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上，反变换公式应该和微分类似，${\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}$ 。我们可以看的出来反变换公式 的行为类似微分。大致上来说，这个反变换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$ 

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$ 即是前面定义的反变换运算子，且伴随着(adjoint to)拉东变换，因此${\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$ ，上式变成

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$ 

复数指数函数${\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$ ，是${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}$ 的本征函数 (eigenfunction) ， 而特征值 (eigenvalue)为${\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$ 。${\displaystyle {\cal {R}}}$ 的奇异值 (singular values) 是${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}$ ， 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以${\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}$ 是无界的(unbounded) ^[4]。

外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式，以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由^[5]

${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}}$ 

其中

${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$ 

而${\displaystyle \Delta }$ 是拉普拉斯算子(Laplacian)，${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$ 是伪微分算子(pseudodifferential operator)

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是傅里叶变换的运算子(operator)。

• 反卷积
• X-ray变换（英语：X-ray transform）
• Funk变换（英语：Funk transform）
• 霍夫变换
• 迭代稀疏渐近最小方差算法

1. ^ 存档副本. [2017-06-29]. （原始内容存档于2017-07-19）. 
2. ^ 存档副本. [2017-06-29]. （原始内容存档于2017-07-19）. 
3. ^ 存档副本 (PDF). [2017-06-29]. （原始内容 (PDF)存档于2018-11-25）. 
4. ^ ^{4.0 4.1} 存档副本 (PDF). [2017-06-29]. （原始内容 (PDF)存档于2018-11-25）. 
5. ^ Helgason 1984，Theorem I.2.13

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• Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
• Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
• Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
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