在数学 中，傅里叶正弦和余弦变换 是傅里叶变换 不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶 使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理 和概率统计 。
定义
方程 f (t ) 傅里叶正弦变换 ，有时也被表示为
f
^
s
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}}
F
s
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
(
2
π
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}
或
2
π
∫
0
∞
f
(
t
)
sin
(
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(\omega t)\,dt.}
如果 t ω
这个变换必须是频率的奇函数 ，即对所有的 ω
f
^
s
(
ω
)
=
−
f
^
s
(
−
ω
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\omega )=-{\hat {f}}^{s}(-\omega ).}
傅里叶变换 中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有
L 2
1
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}
方程 f (t ) 傅里叶余弦变换 ，有时也被表示为
f
^
c
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}}
F
c
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
(
2
π
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}
这个变换必须是频率的偶函数 ，即对所有的 ω
f
^
c
(
ω
)
=
f
^
c
(
−
ω
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\omega )={\hat {f}}^{c}(-\omega ).}
一些著者[1] t 偶函数 的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：
4
∫
0
∞
f
(
t
)
cos
(
2
π
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}
相似地，如果 f 奇函数 ，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：
4
∫
0
∞
f
(
t
)
sin
(
2
π
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}
傅里叶逆变换
按照通常的假设，原始方程 f f 傅里叶逆变换 。
逆公式是[2]
f
(
t
)
=
∫
0
∞
f
^
c
cos
(
2
π
ω
t
)
d
ω
+
∫
0
∞
f
^
s
sin
(
2
π
ω
t
)
d
ω
,
{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \omega t)d\omega +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \omega t)d\omega ,}
它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。
用余弦的变换公式，可以再表示为：
π
2
(
f
(
x
+
0
)
+
f
(
x
−
0
)
)
=
∫
0
∞
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
(
ω
(
t
−
x
)
)
d
t
d
ω
,
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(\omega (t-x))dtd\omega ,}
这里 f (x + 0) f x 极限 。且 f (x − 0) f x
如果原始方程 f f
与复指数的关系
如今用得更为广泛的傅里叶变换 的形式是
f
^
(
ν
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π
i
ν
t
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
(
cos
(
2
π
ν
t
)
−
i
sin
(
2
π
ν
t
)
)
d
t
Euler's Formula
=
(
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
(
2
π
ν
t
)
d
t
)
−
i
(
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
(
2
π
ν
t
)
d
t
)
=
1
2
f
^
c
(
ν
)
−
i
2
f
^
s
(
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\tfrac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\tfrac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}
相关条目 参考
Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis , Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211 ^ Mary L. Boas，在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，第二版，John Wiley & Sons Inc, 1983. Poincaré , Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur . Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff. [2014-05-27 ] . （原始内容存档 于2017-08-07）.
