边值问题

边值问题类似初值问题，边值问题的条件是在区域的边界上，而初值问题的条件都是在独立变量及其导数在某一特定值时的数值（一般是定义域的下限，所以称为初值问题）。

例如独立变量是时间，定义域为[0,1]，边值问题的条件会是${\displaystyle y(t)}$ 在${\displaystyle t=0}$ 及${\displaystyle t=1}$ 时的数值，而初值问题的条件会是${\displaystyle t=0}$ 时的${\displaystyle y(t)}$ 及${\displaystyle y'(t)}$  之值。

若铁棒的一端为绝对零度，另一端温度为水的凝固点，要找到铁棒温度随位置的变化即为一个边值问题。

若问题和时间和空间都有关，边界条件需为某一个特定点下所有时间对应的值，以及某一个特定时间时所有位置对应的值。

以下是一个边值问题的例子

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0\,}$ 

要求解满足以下边界条件的函数${\displaystyle y(x)}$ 

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$ 

若没有边界条件，以上微分方程的通解是

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,}$ 

根据边界条件${\displaystyle y(0)=0}$ ，可得

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$ 

可以得到${\displaystyle B=0}$ 的结论。根据边界条件${\displaystyle y(\pi /2)=2}$ ，可得

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$ 

因此${\displaystyle A=2}$ 。因此可以找到满足上述边界条件的唯一解，即为

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).\,}$ 

根据条件的形式，边值条件分以下三类^[1]：

• 第一类边值条件：也称为狄利克雷边界条件，直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离；
• 第二类边值条件：也称为诺伊曼边界条件，描述物理系统边界上物理量垂直边界的导数的情况，例如导热细杆端点的热流；
• 第三类边值条件：物理系统边界上物理量与垂直边界导数的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。

边值条件也可以根据边值问题对应的微分算子来分类：若是使用椭圆算子，则问题为椭圆边值问题；使用双曲线算子，则问题为双曲线边值问题。依微分算子还可以将问题再细分为线性及非线性等。