格林函数

给定流形${\displaystyle M\,}$ 上的微分算子 ${\displaystyle L\,}$ ，其格林函数${\displaystyle G(x,s)\,s,x\in M}$ ，为以下方程的解

${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)}$ 

其中 ${\displaystyle \delta \,}$  为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：

${\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)}$ 

若${\displaystyle L}$ 的 零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

若可找到线性算符 ${\displaystyle L\,}$  的格林函数 ${\displaystyle G\,}$ ，则可将 (1) 式两侧同乘${\displaystyle f(s)\,}$ ，再对变量 ${\displaystyle s\,}$  积分，可得：

${\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).}$ 

由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 ${\displaystyle Lu(x)\,}$ ，因此：

${\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.}$ 

由于算符 ${\displaystyle L\,}$  为线式，且只对变量 ${\displaystyle x\,}$  作用，不对被积分的变量 ${\displaystyle s\,}$  作用），所以可以将等号右边的算符 ${\displaystyle L\,}$  移到积分符号以外，可得：

${\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).}$ 

而以下的式子也会成立：

${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)}$ 

因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 f(x)，由于 L 为线性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ，就可以求出 u(x)。

并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数，则方程式 Lu = f 的解 u 为

${\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.}$ 

可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程（英语：Fredholm_integral_equation）。

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)）。

研究框架

令 ${\displaystyle L}$  为一个施图姆-刘维尔算子，是一个以以下形式表示的线性微分算子

${\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}$ 

而 D 是边界条件算子

${\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.}$ 

令 ${\displaystyle f(x)}$  为在 ${\displaystyle [0,l]}$  区间的连续函数，并假设以下问题

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}$ 

有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常解。

定理

则存在唯一解 ${\displaystyle u(x)\,}$  满足以下方程式

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}$ 

而其解的计算方式如下

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds}$ 

而中 ${\displaystyle g(x,s)\,}$  即为格林函数，有以下的特性：

1. ${\displaystyle g(x,s)\,}$  对 ${\displaystyle x\,}$  及 ${\displaystyle s\,}$  连续。
2. 对所有 ${\displaystyle x\neq s}$ , ${\displaystyle Lg(x,s)=0\,}$ .
3. 对所有 ${\displaystyle s\neq 0,l}$ , ${\displaystyle Dg(x,s)=0\,}$ .
4. 微分跳跃：${\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,}$ .
5. 对称：${\displaystyle g(x,s)=g(s,x)\,}$ .

特征向量展开

若一微分算子 L 有一组完备的特征向量 ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$ （也就是一组函数 ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$  及标量 ${\displaystyle \lambda _{n}}$  使得 ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}}$  成立）则可以由特征向量及特征值产生格林函数。

先假设函数 ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$  满足以下的完备性：

${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').}$ 

经由证明可得下式：

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.}$ 

若在等号两侧加上微分算子 L，则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）所要探讨的内容。

先由格林定理开始：

${\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}}$ 

假设线性算符 L 为拉普拉斯算子 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ，而 G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：

${\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')}$ 

令格林定理中的 ${\displaystyle \,\!\psi =G}$ ，可得：

${\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)}$ 

根据上式，可以解拉普拉斯方程 ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0}$  或 泊松方程 ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)}$ ，其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 ${\displaystyle \,\!\phi (x)}$ ：

1. 已知 ${\displaystyle \,\!\phi (x)}$  在边界上的值（狄利克雷边界条件）。
2. 已知 ${\displaystyle \,\!\phi (x)}$  在边界上的法向导数（诺伊曼边界条件）。

若想解在区域内的 ${\displaystyle \,\!\phi (x)}$ ，由于狄拉克δ函数的特性，(4) 式等号左边的第一项

${\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}}$ 

可化简为 ${\displaystyle \,\!\phi (x)}$  ，再将 (4) 式等号左边第二项 ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x')}$  用 ${\displaystyle \,\!\rho '(x')}$  表示，（若为泊松方程，${\displaystyle \,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)}$ ，若为拉普拉斯方程，${\displaystyle \,\!\rho '(x)=0}$ ），可得：

${\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)}$ 

上式即为调和函数（harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。

在静电学中，${\displaystyle \,\!\phi (x)}$  为电位，${\displaystyle \,\!\rho (x)}$  为电荷密度，而法向导数 ${\displaystyle \nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'}$  则为电场在法向的分量。

若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ，只剩下一项需计算。

在自由空间的情形下（此时可将边界条件视为：${\displaystyle \lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0}$ ），拉普拉斯算子的格林函数为：

${\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}}$ 

若 ${\displaystyle \,\!\rho ({\hat {x}})}$  为电荷密度，则可得到电荷密度和电位 ${\displaystyle \,\!\phi ({\hat {x}})}$  的公式：

${\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'}$ 

针对以下微分方程

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)}$ 

${\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$ 

找出格林函数。

第 1 步

根据定理中，格林函数的特性 2，可得

${\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x}$ 

在 x < s 时因特性 3 可知

${\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0}$ 

（此时不需考虑 ${\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0}$  的式子，因 ${\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}}$ ）在 x > s 时因特性 3 可知

${\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0}$ 

（此时不需考虑 ${\displaystyle \quad g(0,s)=0}$  的式子，因 ${\displaystyle x\neq 0}$ ）整理上述的结果，可得以下的式子。

${\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}$ 

第 2 步

依格林函数的特性，找出 a(s)和b(s).

根据特性 1，可得

${\displaystyle a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad }$ .

根据特性 4，可得

${\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}$ 

解上述二式，可以求出 a(s)和b(s)

${\displaystyle a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s}$ .

因此格林函数为

${\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}$ 

对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。

• 若流形为 R，而线性算符 L 为 d/dx，则单位阶跃函数 H(x − x₀) 为 L 在 x₀ 处的格林函数。
• 若流形为第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子，并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件，而在y = 0 处有诺依曼边界条件，则其格林函数为

${\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]}$ 

${\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}$ 

• 离散格林函数（英语：Discrete Laplace operator），可定义于图以及网上。
• 脉冲响应
• 格林恒等式
• 基尔霍夫积分定理