格林函数

数学中,格林函数点源函数影响函数)是一种用来解有初始条件边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中,格林函数常常指各种关联函数英语Correlation function (quantum field theory),有时并不符合数学上的定义。

格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林(George Green),早在1830年代,他是第一个提出这个概念的人。

定义以及用法

给定流形 上的微分算子  ,其格林函数 ,为以下方程的解

 

其中  狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程:

 

 零空间非平凡,则格林函数不唯一。不过,实际上因着对称性边界条件或其他的因素,可以找到唯一的格林函数。一般来说,格林函数只是一个广义函数

格林函数在凝聚态物理学中常被使用,因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中,哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构,因此两者对应的格林函数也相当接近。

动机

若可找到线性算符   的格林函数  ,则可将 (1) 式两侧同乘 ,再对变量   积分,可得:

 

由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于  ,因此:

 

由于算符   为线式,且只对变量   作用,不对被积分的变量   作用),所以可以将等号右边的算符   移到积分符号以外,可得:

 

而以下的式子也会成立:

 

因此,若知道 (1) 式的格林函数,及 (2) 式中的 f(x),由于 L 为线性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说, (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ,就可以求出 u(x)

并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3) 式的积分也很难求解,因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数,则方程式 Lu = f 的解 u

 

可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开,再将所有投影叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程英语Fredholm_integral_equation

非齐次边界值问题的求解

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中,格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子,而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数英语Correlation function (quantum field theory)

研究框架

  为一个施图姆-刘维尔算子,是一个以以下形式表示的线性微分算子

 

D 是边界条件算子

 

  为在   区间的连续函数,并假设以下问题

 

有正则特牲;即其齐次问题只存在寻常解。

定理

则存在唯一解   满足以下方程式

 

而其解的计算方式如下

 

而中   即为格林函数,有以下的特性:

  1.     连续。
  2. 对所有  ,  .
  3. 对所有  ,  .
  4. 微分跳跃: .
  5. 对称: .

寻找格林函数

特征向量展开

若一微分算子 L 有一组完备的特征向量  (也就是一组函数   及标量   使得   成立)则可以由特征向量及特征值产生格林函数。

先假设函数   满足以下的完备性:

 

经由证明可得下式:

 

若在等号两侧加上微分算子 L,则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究,及格林函数和特征向量所组成空间的关系,则为弗雷德霍姆理论英语Fredholm theory所要探讨的内容。

拉普拉斯算子的格林函数

先由格林定理开始:

 

假设线性算符 L拉普拉斯算子  ,而 G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义,可得下式:

 

令格林定理中的  ,可得:

 

根据上式,可以解拉普拉斯方程  泊松方程  ,其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说,在以下任一个条件成立时,可以解一空间内任一位置的  

  1. 已知   在边界上的值(狄利克雷边界条件)。
  2. 已知   在边界上的法向导数(诺伊曼边界条件)。

若想解在区域内的  ,由于狄拉克δ函数的特性,(4) 式等号左边的第一项

 

可化简为   ,再将 (4) 式等号左边第二项    表示,(若为泊松方程, ,若为拉普拉斯方程, ),可得:

 

上式即为调和函数(harmonic function)的特性之一:若边界上的值或法向导数已知,则可以求出区域内每个位置的数值。

静电学中, 电位 电荷密度,而法向导数   则为电场在法向的分量。

若目前的边界条件为狄利克雷边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ,只剩下一项需计算。

自由空间的情形下(此时可将边界条件视为: ),拉普拉斯算子的格林函数为:

 

 电荷密度,则可得到电荷密度和电位   的公式:

 

范例

针对以下微分方程

 
 

找出格林函数。

第 1 步

根据定理中,格林函数的特性 2,可得

 

x < s 时因特性 3 可知

 

(此时不需考虑   的式子,因  )在 x > s 时因特性 3 可知

 

(此时不需考虑   的式子,因  )整理上述的结果,可得以下的式子。

 

第 2 步

依格林函数的特性,找出 a(s)和b(s).

根据特性 1,可得

 .

根据特性 4,可得

 

解上述二式,可以求出 a(s)和b(s)

 .

因此格林函数为

 

对照此解和格林函数的特性 5,可知此解也满足特性 5 的要求。

其他举例

  • 若流形为 R,而线性算符 L 为 d/dx,则单位阶跃函数 H(xx0) 为 L 在 x0 处的格林函数。
  • 若流形为第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子,并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件,而在y = 0 处有诺依曼边界条件,则其格林函数为
 
 

参见

参考