格林恒等式

设定向量场${\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi }$ ；其中，在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 的某区域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 内，${\displaystyle \phi }$ 是二次连续可微标量函数，${\displaystyle \psi }$ 是一次连续可微标量函数，则从散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$ ，

可以推导出格林第一恒等式^[1]：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }(\psi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\psi {\partial \phi \over \partial n}\,\mathrm {d} S}$ ；

其中，${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$ 是区域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 的边界，${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ 是取于边界面${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$ 的法向导数，即${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} }$ 。

假若在区域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 内，${\displaystyle \phi }$ 和${\displaystyle \psi }$ 都是二次连续可微，则可交换${\displaystyle \phi }$ 与${\displaystyle \psi }$ ，从${\displaystyle (\psi ,\phi )}$ 的格林第一恒等式得到${\displaystyle (\phi ,\psi )}$ 的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,\mathrm {d} S}$ 。

假设函数${\displaystyle G}$ 是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$ 是狄拉克δ函数。

例如，在R³，基本解的形式为

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}}$ 。

函数${\displaystyle G}$ 称为格林函数。对于变数${\displaystyle \mathbf {x} }$ 与${\displaystyle \mathbf {x} '}$ 的交换，格林函数具有对称性，即${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ 。

设定${\displaystyle \phi =G}$ ，在区域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 内，${\displaystyle \psi }$ 是二次连续可微。假若${\displaystyle \mathbf {x} }$ 在积分区域${\displaystyle \mathbb {U} }$ 内，则应用狄拉克δ函数的定义，

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )-\int _{\mathbb {U} }\left[G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')\right]\,\mathrm {d} V'=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$ ；

其中，${\displaystyle dV'}$ 、${\displaystyle dS'}$ 分别积分${\displaystyle \mathbf {x} '}$ 于${\displaystyle \mathbb {U} }$ 

这是格林第三恒等式。假若${\displaystyle \psi }$ 是调和函数，即拉普拉斯方程式的解：

${\displaystyle \nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')=0}$ ，

则这恒等式简化为

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$ 。

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