打靶法

打靶法(英语:Shooting method)是数值分析中在求解边界值问题时,将解归约为求解数个初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。

对于一个二阶常微分方程的边界值问题,该方法表述如下: 令

为边界值问题。 令 y(t1; a) 代表下列初值问题的一个解

定义函数F(a)为y(t1; a)和给定边界值y1的差

若边界值问题有解,则F有一个根,而这个根就是y'(t0)的给出边界问题解y(t)的取值。

上述问题的求解可以采用通常的求根方法,例如二分法或者牛顿法

线性打靶法

边界值问题是线性的,若f形为

 

这个情况下,边界值问题的解通常给出为

 

其中 是下面的初值问题的一个解

 

 是下面的初值问题的解:

 

结果成立的精确条件请参看证明

例子

Stoer及Burlisch曾提出一个如下的边界值问题(Section 7.3.1)

 

以下的初值问题

 

s = −1, −2, −3, ..., −100等条件下求解,且令F(s) = w(1;s) − 1,其图形绘制在第一图中,根据图中可知,其解接近−8及−36。 第二图绘出一些w(t;s)的轨迹。

初值问题的解是由LSODE算法计算,利用数学软件GNU Octave实现。

Stoer及Bulirsch列出有二个解,可以用代数法求解。 对应初始条件约w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9时的值。

 
F(s) = w(1;s) − 1.
 
w(t;s)的轨迹,s = w'(0)等于−7, −8, −10, −36及−40(颜色分别是红、绿、蓝、浅蓝、洋红),(1,1)有绘制一红色的菱形。


参考

  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)