贝尔数

贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的（OEIS数列A000110）数列）：

Bell Number

${\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \dots }$

B_n是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B₃ = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

{{a}, {b}, {c}}

{{a}, {b, c}}

{{b}, {a, c}}

{{c}, {a, b}}

{{a, b, c}};

B₀是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成员），而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数适合递推公式：

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}.}$

上述组合公式的证明：

可以这样来想，${\displaystyle B_{n+1}}$是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素${\displaystyle b_{n+1}.}$

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为${\displaystyle {n \choose n}B_{n}}$；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 ${\displaystyle {n \choose n-1}B_{n-1}}$；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 ${\displaystyle {n \choose n-2}B_{n-2}}$；

依次类推，得到了上述组合公式

它们也适合“Dobinski公式”：

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$期望值为1的泊松分数的n次矩。

它们也适合“Touchard同余”：若p是任意质数，那么

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).}$

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).}$

Stirling数S（n, k）是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式，其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数是

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$