正割

正割的数学符号为${\displaystyle \sec }$ ，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

直角三角形中

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$ 的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}$ 

可以发现其定义和余弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$ 是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$ 是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$ 的正割定义为：

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}$ 

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$ ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$ 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$ 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$ （360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$ （360°）的周期函数：

${\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$ 

对于任何角度${\displaystyle \theta }$ 和任何整数${\displaystyle k}$ 。

与其他函数定义

正割函数和余弦函数互为倒数

即：^[1]

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$ 

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义：

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+.....}$ 。

微分方程定义

${\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}$ 

${\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}$ 

指数定义

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$ 

和差角公式

${\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}$ 

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分

${\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}$ 

1. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）. 
2. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）. 
3. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）. 
4. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）. 

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