拐点

若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

拐点的必要条件：设${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle (a,b)}$ 内二阶可导，${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ，若${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 是曲线${\displaystyle y=f(x)}$ 的一个拐点，则${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ 。 比如，${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ ，有${\displaystyle f''(0)=0}$ ，但是0两侧全是凸，所以0不是函数${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ 的拐点。

拐点的充分条件：设${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle (a,b)}$ 内二阶可导，${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ ，若在${\displaystyle x_{0}}$ 两侧附近${\displaystyle f''(x)}$ 异号，则点${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 为曲线的拐点。否则（即${\displaystyle f''(x_{0})}$ 保持同号），${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 不是拐点。

拐点可以根据${\displaystyle f'(x)}$ 为零或不为零，进行分类：

• 如果${\displaystyle f'(x)}$ 为零，此点为拐点的驻点，简称为鞍点。
• 如果${\displaystyle f'(x)}$ 不为零，此点为拐点的非驻点。

例如：${\displaystyle y=x^{3}}$ 的点${\displaystyle (0,0)}$ 是一个鞍点，切线为${\displaystyle x}$ 轴，切线正好将图像分为两半。

平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点，此时曲率中心（居于曲线凹侧）从曲线的一侧换至另一侧。

双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分（它们是向量）线性无关的点。在双正则点上，曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零，但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时，我们通常先以微分找出非双正则点，继之研究其局部性状，以判定是否为拐点。

注：某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”，在此定义下，切线不一定在该点穿越曲线本身。

设${\displaystyle C}$ 为域${\displaystyle F}$ 上的平面代数曲线，其拐点定义为一平滑点${\displaystyle P\in C(F)}$ ，使得该点切线${\displaystyle L_{P}}$ 与${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle P}$ 点的相交重数${\displaystyle \geq 3}$ 。

注意到一条曲线与${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle P}$ 点相切的充要条件是相交重数${\displaystyle \geq 2}$ 。当${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ 时，代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。

• 驻点
• 鞍点
• 极值

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.