凸函数

${\displaystyle C}$ 为某实向量空间的凸子集，若实值函数${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$  对任意 ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ 及任意${\displaystyle v,\,w\in C}$ ，皆有

${\displaystyle f\left[v+t\cdot (w-v)\right]\leq f(v)+t\cdot \left[f(w)-f(v)\right]}$ 

则 ${\displaystyle f}$  称为凸函数。

若 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} }$  ，然后在 ${\displaystyle f}$  图像上任取两点${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$ 和${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$  连线，则连线上某点 ${\displaystyle p}$  的 ${\displaystyle x}$  座标可以想成从 ${\displaystyle x_{1}}$  出发，前进了 ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$  这整段的一部分而已，也就是说

${\displaystyle 0\leq t={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\leq 1}$ 

循着同样的比例 ${\displaystyle t}$  ， ${\displaystyle p}$  的 ${\displaystyle y}$  座标就可以写成

${\displaystyle 0\leq t={\frac {y-f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}}\leq 1}$ 

但同样的 ${\displaystyle x}$  座标下，对应的 ${\displaystyle f}$  函数值就是

${\displaystyle f\left[x_{1}+t\cdot (x_{2}-x_{1})\right]}$ 

所以，凸函数的定义意为，${\displaystyle f}$  的图像上，任意相异两点的连线不能低于中间${\displaystyle f}$  的曲线。^[2]换言之，函数的上境图（英语：Epigraph (mathematics)）（图像上方的点的集合）为凸集。

严格凸函数

若将定义的${\displaystyle \leq }$ 号换成${\displaystyle <}$ ，则得到严格凸的定义：

${\displaystyle f}$ 称为严格凸，意思是对${\displaystyle 0<t<1}$ 和任意不相等的${\displaystyle v,\,w\in C}$ ，皆有

${\displaystyle f\left[v+t\cdot (w-v)\right]<f(v)+t\cdot \left[f(w)-f(v)\right]}$ 

若 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} }$  ，在严格凸函数${\displaystyle f}$ 的图像曲线上，任意两相异点的连线，除端点外皆高于曲线。

几乎凸函数

若 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} }$ ，实值函数${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$  对于任意三实数 ${\displaystyle x\leq z\leq y}$  ，都有${\displaystyle f(z)\leq \max\{f(x),\,f(y)\}}$ ，则称 ${\displaystyle f}$  是几乎凸的。

凸函数的某些性质，多元情况的叙述与一元情况同样简单。此种性质，可能仅于多元情况列举，恕不在一元情况赘述。

一元情况

• 设${\displaystyle f}$ 是一元实函数，定义域为区间。考虑割线斜率
  $${\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}},}$$

   
  则函数${\displaystyle R}$ 是对称函数（粤语：對稱函數），即关于${\displaystyle R(x_{1},x_{2})=R(x_{2},x_{1})}$ 。${\displaystyle f}$ 为凸，当且仅当对每个固定的${\displaystyle x_{2}}$ ，皆有${\displaystyle R(x_{1},x_{2})}$ 关于${\displaystyle x_{1}}$ 单调不减（或由对称性，可将此句中${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ 互换）。此刻划有助证明以下的结果。
• 若一元凸函数${\displaystyle f}$ 定义在开区间${\displaystyle C}$ 内，则在C内连续，且处处有左侧及右侧的单边导数（英语：Semi-differentiability）。如此定义的两个单边导函数，皆为单调不减。由此推出，除可数个点外，${\displaystyle f}$ 在其他点皆可微（不过不可导的点组成的集合，仍有可能稠密）。如果${\displaystyle C}$ 是闭区间，那么${\displaystyle f}$ 有可能在${\displaystyle C}$ 的端点不连续，见例子。
• 一元可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：^[3]:69对于区间内的所有${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，都有
  $${\displaystyle f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y).}$$

   
  特别地，如果${\displaystyle f'(y)=0}$ ，则上式化为${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ ，故${\displaystyle f(y)}$ 是${\displaystyle f}$ 的最小值。
• 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。若一元函数既凸又可导，则其导数也连续。
• 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数（英语：second derivative）是非负的；这是判断某个函数是否凸的实用方法。直观地，二阶可导的凸函数“向上弯”，而不会屈向另一边（即无拐点）。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ 的二阶导数是${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$ ，当${\displaystyle x=0}$ 时为零，但${\displaystyle f}$ 是严格凸的。
  • 此性质的条件“二阶导数非负”与前一个性质的条件“导数单调不减”有差异。若${\displaystyle f''}$ 在区间${\displaystyle C}$ 非负，则的确${\displaystyle f'}$ 在${\displaystyle C}$ 单调不减。反之则不然，因为可能有${\displaystyle f'}$ 在${\displaystyle C}$ 单调不减，但在某点不可导，即${\displaystyle f''}$ 在${\displaystyle C}$ 中某点无定义。
• 若${\displaystyle f}$ 为一元凸函数，且${\displaystyle f(0)\leq 0}$ ，则${\displaystyle f}$ 在正数集内为超可加函数（英语：Superadditivity），即${\displaystyle f(a+b)\geq f(a)+f(b)}$ 对任意正实数${\displaystyle a,b}$ 成立。

多元情况

更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果${\displaystyle X}$ 是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么${\displaystyle f(\mathbb {E} [X])\leq \mathbb {E} [f(X)],}$ （在这里，${\displaystyle E}$ 表示数学期望。）

• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 是凸函数，那么${\displaystyle m(x)=\max\{f(x),g(x)\}}$ 和${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}$ 也是凸函数。
• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 是凸函数，且${\displaystyle g}$ 递增，那么${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ 是凸函数。
• 凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果${\displaystyle f(x)}$ 是凸函数（${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ），那么${\displaystyle g(y)=f(Ay+b)}$ 也是凸函数，其中${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m},\;b\in \mathbb {R} ^{n}.}$ 
• 如果${\displaystyle f(x,y)}$ 在${\displaystyle (x,y)}$ 内是凸函数，且${\displaystyle C}$ 是一个凸的非空集，那么${\displaystyle g(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$ 在${\displaystyle x}$ 内是凸函数，只要对于某个${\displaystyle x}$ ，有${\displaystyle g(x)>-\infty }$ 。

• 函数${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 处处有${\displaystyle f\,''(x)=2>0}$ ，因此f是一个（严格的）凸函数。
• 绝对值函数${\displaystyle f(x)=|x|}$ 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。
• 当${\displaystyle p\geqslant 1}$ 时，函数${\displaystyle f(x)=|x|^{p}}$ 是凸函数。
• 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0<x<1时f(x)=0，是凸函数；它在开区间(0,1)内连续，但在0和1不连续。
• 函数${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ 的二阶导数为${\displaystyle f\,''(x)=6x}$ ，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。
• 每一个在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ 。如果将“凸”替换为“凹”，该命题也成立。
• 每一个在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如${\displaystyle f(x)=a^{T}x+b}$ 的函数，既是凸函数又是凹函数。
• 每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。
• 如果${\displaystyle f}$ 是凸函数，那么当${\displaystyle t>0}$ 时，${\displaystyle g(x,t)=tf(x/t)}$ 是凸函数。
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 和${\displaystyle g(x)=\log(x)}$ 为单调递增但非凸的函数。
• 函数f(x) = 1/x²，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

• 凹函数
• 凸集
• 对数凸函数

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