凹函数

如果一个有实值函数f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).}$ 

则我们称f在某区间（或者某个向量空间中的凸集）上是凹的

某函数f:R→R，在x和y之间的每一点z，在图中的点(z, f(z) )是在以点(x, f(x) )和(y, f(y) )连成的直线之上。

如果一个可微函数${\displaystyle f}$ 它的导数${\displaystyle f'}$ 在某区间是单调递减的，${\displaystyle f}$ 就是凹的：一个凹函数的斜率单调递减（当中递减只是代表非递增而不是严格递减，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数${\displaystyle f}$ ，它的二阶导数${\displaystyle f''(x)}$ 是正值，那么它的图像是凸的；如果二阶导数${\displaystyle f''(x)}$ 是负值，图像就会是凹的。

如果凸函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凹函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果${\displaystyle f(x)}$ 是二次可微的，那么${\displaystyle f(x)}$ 就是凹的当且仅当${\displaystyle f''(x)}$ 是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严格凹函数，但相反而言又不一定正确，例如当${\displaystyle f(x)=-x^{4}}$ 。 如果${\displaystyle f}$ 是凹的也是可微的，那么

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$ 

一个在${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的连续函数是凹的当且仅当对于任意属于${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的x和y，有

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$ 

• 函数${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$  和 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 都是凹函数因为它们的二阶导数永远都是一个负值。
• 任何线性函数${\displaystyle f(x)=ax+b}$ 既是凸函数也是凹函数。
• 函数${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ 在区间${\displaystyle [0,\pi ]}$ 是凹的。
• 函数${\displaystyle \log |B|}$ 是一个凹函数，当中${\displaystyle |B|}$ 是一个非负定矩阵的行列式。

• 凸函数