赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L^p空间的相互关系的基本不等式：

设${\displaystyle S}$为测度空间，${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$，及${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}$，设${\displaystyle f}$在${\displaystyle L^{p}(S)}$内，${\displaystyle g}$在${\displaystyle L^{q}(S)}$内。则${\displaystyle f{\mbox{ }}g}$在${\displaystyle L^{1}(S)}$内，且有

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}$

等号当且仅当${\displaystyle |f|^{p}}$与${\displaystyle |g|^{q}}$（几乎处处）线性相关时取得，即有常数${\displaystyle \alpha ,\beta }$使得${\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}$对几乎所有${\displaystyle x\in S}$成立。

若${\displaystyle S}$取作${\displaystyle \{1,...,n\}}$附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）${\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}$，有

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}$。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取${\displaystyle S}$为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当${\displaystyle p=q=2}$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明${\displaystyle L^{p}}$空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明${\displaystyle L^{p}}$空间是${\displaystyle L^{q}}$空间的对偶。