杨氏不等式在数学上，杨氏不等式，指出：假设 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , p {\displaystyle p} 和 q {\displaystyle q} 是正实数 ，且有 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ，那么： a b ≤ a p p + b q q . {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.} 等号成立当且仅当 a p = b q {\displaystyle a^{p}=b^{q}} ，因为这时 a b = a ( b q ) 1 q = a a p q = a p = a p p + b q q {\displaystyle ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}} 。杨氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。该不等式以威廉·亨利·杨（英语：William Henry Young）命名。 证明 我们知道函数 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} 是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有： a b = e ln ( a ) e ln ( b ) = e 1 p ln ( a p ) + 1 q ln ( b q ) ≤ 1 p e ln ( a p ) + 1 q e ln ( b q ) = a p p + b q q {\displaystyle ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}} 这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 t {\displaystyle t} ，若 0 < t < 1 {\displaystyle 0<t<1} ，则有： f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)} 推广 设 ϕ : R → R {\displaystyle \phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 是一个连续、严格递增函数且 ϕ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \phi (0)=0} 。那么下面的不等式成立： a b ≤ ∫ 0 a ϕ ( x ) d x + ∫ 0 b ϕ − 1 ( y ) d y {\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy} 观察 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 组成的矩形的面积大。 参考来源 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 请检查|issn=值 (帮助). 请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 请检查|issn=值 (帮助). 请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
