杨氏不等式

数学上,杨氏不等式,指出:假设 , , 是正实数 ,且有 ,那么:

等号成立当且仅当 ,因为这时

杨氏不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,也是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。该不等式以威廉·亨利·杨英语William Henry Young命名。

证明

我们知道函数  是一个凸函数, 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有:

 

这里我们使用了凸函数的一个性质:对任意   ,若  ,则有:

 

推广

 是一个连续、严格递增函数  。那么下面的不等式成立:

 

观察 的图形,很容易看出这个不等式的一个直观证明:以上两个积分式所表示的区域之和比由  组成的矩形的面积大。

参考来源

  • 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 请检查|issn=值 (帮助). 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 请检查|issn=值 (帮助).