拟凸函数

设函数${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ 定义在实向量空间的凸子集${\displaystyle S}$ 上。我们称${\displaystyle f}$ 是拟凸的，如果对任意的${\displaystyle x,y\in S}$ 和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ 都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$ 。

另一种等价的定义则是任何的${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$ 都是凸集。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$ ，则称${\displaystyle f}$ 是严格拟凸的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称${\displaystyle f}$ 是拟凹的，如果对任意的${\displaystyle x,y\in S}$ 和${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ 都有

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$ 。

如果有${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$ ，则称${\displaystyle f}$ 是严格拟凹的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。

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