余割

余割的符号为${\displaystyle \csc }$ ，取自英文cosecant，其又源于拉丁文的cosecans及secans complementi。

直角三角形中

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$ 的余割定义为它的斜边与对边的比值，也就是：

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}$ 

其定义与正弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$ 是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$ 是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$ 的余割定义为：

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}$ 

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$ ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$ 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$ 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$ （360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$ （360°）的周期函数：

${\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$ 

对于任何角度${\displaystyle \theta }$ 和任何整数${\displaystyle k}$ 。

与其他函数定义

余割函数和正弦函数互为倒数

即：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$ 

级数定义

余割也能使用泰勒级数来定义：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+.....}$ 。

微分方程定义

${\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}$ 

${\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}$ 

指数定义

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$ 

和差角公式

${\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$ 

• 正弦
• 余弦
• 正切
• 余切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波