黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指满足以下性质，非平方数的正整数：其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环^{[注解 1]}^[1]。

黑格纳数只有以下九个： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS数列A003173）

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个，但未提出证明，1952年库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）提出不完整的证明，后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明，即为斯塔克–黑格纳定理（英语：Stark–Heegner theorem）。

欧拉的质数多项式

欧拉的质数多项式如下：

n^{2}+n+41,\,

在n = 1, ..., 40时会产生不同的40个质数，这相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式， $n$ 取值为1,... 40和以下的多项式

n^{2}+n+41,\,

让 $n$ 取值0,... 39时等效，而Rabinowitz^[2]证明了

n^{2}+n+p\,

在 $n=0,\dots ,p-2$ 时，多项式为质数的充份必要条件为其判别式 $1-4p$ 等于负的黑格纳数。

（若代入 $p-1$ 会得到 $p^{2}$ 一定不是质数，因此最大值只能取到 $p-2$ ）

1, 2和3不符合要求，因此符合条件的黑格纳数为 $7,11,19,43,67,163$ ，也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为 $2,3,5,11,17,41$ ，这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈（英语：François Le Lionnais）称为欧拉的幸运数（英语：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉马努金常数

拉马努金常数是 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ 的值，是超越数^[4]，但非常接近整数：

e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现^[5]，在1975年愚人节的《科学美国人》^[6]，《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数，而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数，因此以他的名字来命名。

这个巧合可以用j-invariant（英语：j-invariant）的复数乘法（英语：complex multiplication）及q展开来表示。

注解

^ Q(√−d)的整数环为唯一分解整环，也就表示Q(√−d)的数字都只有一种因数分解方式，例如Q(√−5)的整数环不是唯一分解整环，因为6可以以两种方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整数乘积： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

参考资料

^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. gives $e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}$ , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Detailed history of problem.
Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. （原始内容存档于2013-05-16）.

[1] Q(√−d)的整数环为唯一分解整环，也就表示Q(√−d)的数字都只有一种因数分解方式，例如Q(√−5)的整数环不是唯一分解整环，因为6可以以两种方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整数乘积： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

[2] Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.

[3] Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.

[4] Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.

[5] Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. gives $e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}$ , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.

[6] Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.

[7] Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

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