希尔伯特第七问题

给定以下两个等价^[1]叙述：

1. 在等腰三角形中，若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边长度的比值是否恒为超越数？
2. 若${\displaystyle b}$ 是无理数且为代数数、${\displaystyle a}$ 是非${\displaystyle 0,1}$ 的代数数，那么${\displaystyle a^{b}}$ （例如${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ 、${\displaystyle e^{\pi }}$ =${\displaystyle i^{-2i}}$ ）是否恒为超越数？

第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德（俄语：Гельфонд, Александр Осипович）证明，德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题，他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理。（${\displaystyle b}$ 是无理数的条件是必要的，否则令${\displaystyle a={\sqrt {2}},b=2}$ 则${\displaystyle a^{b}=2}$ 为一代数数)

在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。

此问题的推广为贝克定理，艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖。

• 格尔丰德-施奈德常数 ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ 。
• 格尔丰德常数 ${\displaystyle e^{\pi }}$ 。

• English translation of Hilbert's original address （页面存档备份，存于互联网档案馆）