希尔伯特的23个问题

希尔伯特问题（德语：Hilbertsche Probleme）是德国数学家大卫·希尔伯特于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

问题解决进度

以下列出希尔伯特的23个问题，各问题的解答状况可参见各问题条目。

# 主旨 进展 说明
第1题 连续统假设 部分解决 1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论（无论是否含选择公理）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。
第2题 算术公理之相容性 部分解决 库尔特·哥德尔在1931年证明了哥德尔不完备定理，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。
第3题 两四面体有相同体积之证明法 已解决 答案：否。1900年，希尔伯特的学生马克斯·登（英语：Max Dehn）以一反例证明了是不可以的。
第4题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 已解决 满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。在对称距离情况下，问题获解决。
第5题 所有连续群是否皆为可微群 已解决 1953年日本数学家山边英彦证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。
第6题 公理化物理 部分解决 希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。
第7题 若b是无理数、a是除0、1之外的代数数，那么ab是否超越数 已解决 答案：是。分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决。
第8题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 未解决 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。
第9题 任意代数数域的一般互反律 部分解决 1927年德国的埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。
第10题 不定方程可解性 已解决 答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。
第11题 代数系数之二次形式 部分解决 有理数的部分由哈塞于1923年解决。
第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 未解决 埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论（英语：Complex multiplication）已基本解决。一般情况下则尚未解决。
第13题 以二元函数解任意七次方程 部分解决 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。
第14题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决 答案：否。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第15题 舒伯特演算（英语：Schubert calculus）之严格基础 部分解决 一部分在1938年由范德瓦尔登（英语：Bartel Leendert van der Waerden）得到严谨的证明。
第16题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决 此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。
第17题 把有理函数写成平方和分式 已解决 答案：是。1927年埃米尔·阿廷解决此问题，并提出实封闭域。[2][3]
第18题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决 1911年比伯巴赫（英语：Ludwig Bieberbach）做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特（英语：Karl Reinhardt (mathematician)）证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。
第19题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析 已解决 答案：是。1956年至1958年恩尼奥·德乔吉（英语：Ennio de Giorgi）和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。
第20题 所有边值问题是否都有解 已解决 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。[4]
第21题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决 此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。
第22题 将解析关系（analytic relations）以自守函数（英语：Automorphic function）一致化 部分解决 1904年由保罗·克伯（英语：Paul Koebe）和庞加莱取得部分解决。详见单值化定理。
第23题 变分法的长远发展 开放性问题 包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。

参阅

文献

  • Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1. 
  • Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1. 
  • Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. Van Brummelen, Glen (编). Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3. 
  • Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy. 
  • Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
  • Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958. 
  • Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter , 编. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9. 
  • Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740. 
Specific
  1. ^ Gotô, Morikuni; Yamabe, Hidehiko. On Continuous Isomorphisms of Topological Groups. Nagoya Mathematical Journal. 1950-06, 1: 109–111. ISSN 0027-7630. doi:10.1017/s0027763000022881. 
  2. ^ Artin, Emil. Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. Emil Artin Collected Papers. New York, NY: Springer New York. 1965: 273–288. ISBN 9781461257189. 
  3. ^ Artin, Emil; Schreier, Otto. Algebraische Konstruktion reeller Körper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1927-12, 5 (1): 85–99. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/bf02952512. 
  4. ^ Serrin, James. The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1976: 507–524. ISSN 2324-707X. doi:10.1090/pspum/028.2/0427784. 

外部链接