希尔伯特第十六问题

希尔伯特第十六问题，是希尔伯特的23个问题之一。它分成两个部分：

• 实代数曲线与曲面的拓扑结构

Harnack在1876年证明了一个平面上${\displaystyle n}$次实代数曲线最多有${\displaystyle {\frac {n^{2}-3n+4}{2}}}$个分支。希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质，并将Harnack的估计推广到空间里的实代数曲面。

• 极限环的拓扑结构

给定二元${\displaystyle n}$次实多项式${\displaystyle P(x,y),Q(x,y)}$，考虑下述平面上的动力系统

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.}$

希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。

总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部分，我们考虑实多项式的零点；在第二部分，我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。