希尔伯特第十四问题

此问题源自不变量理论。具体而言，假设群${\displaystyle G}$ 作用于n维仿射空间${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ，或者等价地说，作用于多项式环${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 。为了研究商空间${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}/G}$ ，必须考虑：

${\displaystyle R:=k[X_{1},\ldots X_{n}]^{G}=\{f\in k[X_{1},\ldots X_{n}]:\forall g\in G,g\cdot f=f\}}$ 

希尔伯特本人证明了${\displaystyle G}$ 是某些半单李群的情形，包括${\displaystyle GL_{n}}$ 。美国犹太人数学家奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski）在1954年证明了${\displaystyle n=1,2}${\displaystyle n=1,2}  的情形。对于一般的状况，日本数学家永田雅宜（永田 雅宜）借着考虑某些线性代数群的作用而在1959年造出反例。

基于美国数学家蒙福德（David Bryant Mumford）提出的假设，可以推出：若${\displaystyle k}$ 是代数封闭域，且${\displaystyle G}$ 是定义在${\displaystyle k}$ 上的可约群，则${\displaystyle R}$ 是有限生成的。此假设已在1975年由美国数学家威廉·哈伯什（William J. Haboush）证明，并由印度数学家C. S. 瑟哈里（C. S. Seshadri）推广。