刘维尔数

如果一个实数 $x$ 满足，对任意正整数 $n$ ，存在整数 $p,q$ ，其中 $q>1$ 有

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}

就把 $x$ 叫做刘维尔数。

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数^[1]，第一次说明了超越数的存在。

基本性质

容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则 $n$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-dp}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}

与定义矛盾。

刘维尔常数

即

c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots

这是一个刘维尔数。取

p_{n}=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},\quad q_{n}=10^{n!}

那么对于所有正整数 $n$

\left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+{}\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}.

超越性

所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和 $\pi$ 就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明

刘维尔定理：若无理数 $\alpha$ 是代数数，即整系数 $n$ 次多项式 $f$ 的根，那么存在实数 $A>0$ ，对于所有 $p,q\in \mathbb {Z} ,q>0$ 有

\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}

证明：令 $M=\max \left\{\left|f'(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}$ ，记 $f$ 的其它的不重复的根为 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$ ，取这样的A

0<A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)

如果存在使定理不成立的 $p,q$ ，就有

\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)

那么， ${\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}$

据拉格朗日中值定理，存在 $\alpha$ 和 ${\frac {p}{q}}$ 之间的 $x_{0}$ 使得

f(\alpha )-f(p/q)=(\alpha -p/q)\cdot f'(x_{0})

有

\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert =\left\vert f(\alpha )-f(p/q)\right\vert /\left\vert f'(x_{0})\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \,

$f$ 是多项式，所以

\left\vert f(p/q)\right\vert =\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right\vert ={\frac {\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right\vert }{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}

由于 $\left|f'(x_{0})\right|\leq M$ 和 $1/M>A$

\left\vert \alpha -p/q\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \geq 1/(Mq^{n})>A/q^{n}\geq \left\vert \alpha -p/q\right\vert

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数 $x$ ，它是无理数，如果它是代数数则

\exists n\in \mathbb {Z} ,A>0\forall p,q\left(\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}\right)

取满足 ${\frac {1}{2^{r}}}\leq A$ 的正整数 $r$ ，并令 $m=r+n$ ，存在整数 $a,b$ 其中 $b>1$ 有

\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参考文献

^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. （原始内容存档于2023-02-21）.

参见

丢番图逼近

外部链接

The Beginning of Transcendental Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. （原始内容存档于2023-02-21）.

[1]