三十二元数

在数学中，三十二元数（英语：Trigintaduonion）是指32个维度的代数系统[2]。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森构造生成的32维代数系统[3]。这种代数系统不是可除代数，且不具备交换律和结合律。[1]

三十二元数
符号[1]
种类非结合代数
单位、 、......、 及
乘法单位元
主要性质幂结合性
含零因子
常见的数字系统
  •  自然数
  •  整数
  •  有理数
  •  实数
  •  复数
  •  四元数
少见的数字系统

八元数 () 十六元数 () 三十二元数

性质

以凯莱-迪克森构造生成的三十二元数本身包含了十六元数、八元数、四元数、复数和实数，也就是说实数包含于复数、复数包含于四元数、四元数包含于八元数、八元数包含于十六元数、十六元数包含于三十二元数。

 

其中 为三十二元数。后面仍能持续推广为六十四元数、一百二十八元数等。[1]

乘法表

高维超复数的乘法表可以透过低维超复数的乘法表推广以产生，因此三十二元数的乘法表有一部分与十六元数、八元数的乘法表相同，其余部分能透过推广的方式计算得出，甚至六十四元数、一百二十八元数的乘法表也皆是已知的。[4]这些乘法表中的元素通常是单位，可称为基元，基元的数量则决定了超复数的维度[5]:89

三十二元数的乘法表十分庞大，可以参见文献中的附表[4][1]。具体执行三十二元数乘法的过程需要1024次实数乘法和992次实数加法。[6]

高维代数结构

三十二元数之上还有六十四元数、一百二十八元数等，其维数皆是二的次方。[4]

六十四元数

六十四元数共有1个实元素和63个虚元素单位。其乘法表的结构可以以这63个虚元素单位作为点，形成651个三元组。[7]如同八元数的法诺平面（英语：Fano plane）7个虚元素单位构成7条线，六十四元数的651个三元组都可以看做一条线，每条线通过3个顶点，每个点连接31条线，并同构于PG(5,2)。[8]:20

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)", [2022-04-25], （原始内容存档于2022-04-24） 
  2. ^ Weng, Zihua. Compounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space. arXiv. 2007 [2022-05-28]. doi:10.48550/ARXIV.0704.0136. （原始内容存档于2022-01-31）. 
  3. ^ Kübra Gül. On k-Fibonacci and k-Lucas Trigintaduonions (PDF). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2018, 13 (1) [2022-05-28]. doi:10.12988/ijcms.2018.71134. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-16）. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 穆大禄. 三十二元數乘法表. 信阳师范学院学报（自然科学版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始内容存档于2022-04-27） （中文（简体））.  論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-27）. 
  5. ^ Liu Shaoxue. Modern algebra foundation. Beijing: Higher Education Press. 2000. 
  6. ^ Aleksandr Cariow & Galina Cariowa. An algorithm for multipication of trigintaduonions. Journal of Theoretical and Applied Computer Science. 2014, 8 (1) [2022-05-28]. （原始内容存档于2022-05-28）. 
  7. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. From Cayley-Dickson algebras to combinatorial Grassmannians (PDF). Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2015, 3 (4): 1192–1221 [2022-05-28]. doi:10.3390/math3041192. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-16）. 
  8. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. Cayley-Dickson algebras and finite geometry (PDF). arXiv preprint arXiv:1405.6888. 2014 [2022-04-28]. doi:10.48550/arXiv.1405.6888. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-28）.