交错代数

交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$ 

根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：

${\displaystyle [x,x,y]=0}$ 

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$ 

两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$ 

对于任何置换σ。于是可以推出：

${\displaystyle [x,y,x]=0}$ 

对于所有的x和y。这等价于所谓的柔性恒等式：

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$ 

因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：

• 左交错恒等式：${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$ 
• 右交错恒等式：${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$ 
• 柔性恒等式：${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$ 

这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。

一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。

阿廷定理说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素${\displaystyle x,y,z}$ 是结合的（也就是说，${\displaystyle [x,y,z]=0}$ ），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。

阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。

穆方恒等式

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$ 
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$ 
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$ 

在任何交错代数中都成立。

在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素${\displaystyle x}$ 和所有的${\displaystyle y}$ ，都有：

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$ 

这等于是说，对于所有这类的${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，结合子${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ 都是零。如果${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是可逆的，那么${\displaystyle xy}$ 也是可逆的，其乘法逆为${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$ 。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。

任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。

• Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. 1995. ISBN 0-486-68813-5.