棣莫弗公式

（证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令${\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} }$ 

（1）当${\displaystyle n=0}$ 时，显然成立。

（2）当${\displaystyle n=1}$ 时：

左式 ${\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=}$  右式

因此，${\displaystyle P(1)}$ 成立。

（3）当${\displaystyle n>1}$ 时：

假设${\displaystyle P(k)}$ 成立，即${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )}$ 

当${\displaystyle n=k+1}$ 时：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&\ {\overset {1}{=}}\cos(k\theta +\theta )+i\sin(k\theta +\theta )\\&\ =\cos[(k+1)\theta ]+i\sin[(k+1)\theta ]\\\end{aligned}}}$ 

等号1处使用和角公式。

因此，${\displaystyle P(k+1)}$ 也成立。

综上所述，根据数学归纳法，${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ ，${\displaystyle P(n)}$ 成立。

另外，由恒等式：

${\displaystyle (\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))\cdot (\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))=1}$ 

可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

最简单的方法是应用欧拉公式^[2]。

由于${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}$ 

所以${\displaystyle {\color {Green}(\cos x+i\sin x)^{n}}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=e^{i(nx)}={\color {Green}\cos(nx)+i\sin(nx)}}$ 

此定理可用来求单位复数的 ${\displaystyle n}$  次方根。设 ${\displaystyle |z|=1}$ ，表为

${\displaystyle z=\cos \theta +i\sin \theta }$ 

若 ${\displaystyle w^{n}=z}$ ，则 ${\displaystyle w}$  也可以表成：

${\displaystyle w=\cos \phi +i\sin \phi }$ 

按照棣莫弗公式：

${\displaystyle w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z}$ 

于是得到

${\displaystyle n\phi =\theta +2k\pi }$ （其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ）

也就是：

${\displaystyle \phi ={\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}}$ 

当 ${\displaystyle k}$  取 ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}$ ，我们得到 ${\displaystyle n}$  个不同的根：

${\displaystyle w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1}$