棣莫弗公式

棣莫弗公式是一个关于复数三角函数的公式,命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗(1667年-1754年)。其内容为对任意实数整数,下列性质成立:

复平面上的立方根等于1.

其中虚数单位)。值得注意的是,尽管本公式以棣莫弗本人命名,他从未直接地将其发表过[1]。为了方便起见,我们常常将合并为另一个三角函数cis(x),也就是说:

在操作上,我们常常限制属于实数,这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把变化为的形式。另外,尽管棣莫弗公式限制须为整数,但倘若适当推广本公式,便可将拓展到非整数的领域。

证明

(证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形,并推广到负整数。)

 

(1)当 时,显然成立。

(2)当 时:

左式   右式

因此, 成立。

(3)当 时:

假设 成立,即 

 时:

 

等号1处使用和角公式

因此, 也成立。

综上所述,根据数学归纳法,  成立。

另外,由恒等式:

 

可知,公式对于负整数情况也成立。

证毕。

检验

最简单的方法是应用欧拉公式[2]

由于 
所以 

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的   次方根。设  ,表为

 

 ,则   也可以表成:

 

按照棣莫弗公式:

 

于是得到

 (其中  

也就是:

 

  ,我们得到   个不同的根:

 

参考文献

参考资料

  1. ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444. 
  2. ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19).