Cis函数

cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$ 

其中i表示虚数单位${\displaystyle i^{2}=-1}$ 。因此

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$ ^[1][2][3]

cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用^[4]，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 ^[5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号 ^[6][7] ，其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。

cis函数主要的功能为简化某些数学表达式，透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达^[4][5][8]，例如傅里叶变换和哈特利变换的结合^[9][10][11]，以及应用在教学上时，因某些因素（如课程安排或课纲需求）因故不能使用指数来表达数学式时，cis函数就能派上用场。

cis函数的定义域是整个实数集，值域是单位复数，绝对值为1的复数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$ 。其图像关于原点对称。

上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是，就如同三角函数，他也算是一种比值，复数和其模的比值:

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}}$ ，其中${\displaystyle z}$ 是辐角为${\displaystyle \theta }$ 的复数

因此，当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数可视为求单位复数的函数。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数的实数部分和余弦函数相同。

微分

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$ ^[1][12]

积分

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$ ^[1]

其他性质

根据欧拉公式，cis函数有以下性质：

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$ ^[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$ 

上述性质是当${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle y}$ 都是复数时成立。在${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle y}$ 都是实数时，有以下不等式：

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$ ^[13]

由于${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”，取其英文缩写cosine and imaginary unit sine，故以${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 来表示该函数。

在数学上，为了简化欧拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }$ ，因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数，给出了cis函数的定义^{[1][9][8][2][14][10][11][15]}：

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta }$ 

并且一般定义域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$ ，值域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$ 。

当${\displaystyle \theta }$ 值为复数时，${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数仍然是有效的，因此可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。^[16]

在数学上，为了方便起见，可以将棣莫弗公式写成以下形式：

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}$ 

跟其他三角函数类似，可以用e的指数来表示，依照欧拉公式给出: ${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 的反函数：${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$ ，当代入模为1的复数时，所得的值是其辐角

类似其他三角函数，${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 的反函数也可以用自然对数来表示

${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,}$ 

当一复数经过符号函数后代入${\displaystyle \operatorname {arccis} x}$ 可得辐角。

${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多

半形公式

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}$ 

倍角公式

${\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }$ 

幂简约公式

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }$ 

余cis函数

就如同三角函数，我们可以令：${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }$ ，其可用于诱导公式来化简某些特定的${\displaystyle \operatorname {cis} }$ 函数的式子。

至于指数定义，经过正弦和余弦的指数定义得:

${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}$ 

有恒等式:

${\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }$ 

双曲cis函数

cish函数（${\displaystyle \cosh +i\sinh }$ ）在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中，与欧几里得几何对应cis函数应为：

${\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}$ 

然而当中的${\displaystyle i}$ 若定义为负一的平方根，则其会变为^[17]：

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}$ 

双曲复数

在一般的情况下，cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数${\displaystyle z=x+jy}$ ，其中${\displaystyle x,y}$ 是实数，而量${\displaystyle j}$ 不是实数，但${\displaystyle j^{2}}$ 是实数。选取${\displaystyle j^{2}=-1}$ ，得到一般复数。取${\displaystyle +1}$ 的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$ 

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$ 

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成分裂四元数。

cas函数

cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数，为雷夫·赫特利（英语：Ralph Hartley）于1942提出，其定义为${\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}$ ，是一种实变数实值函数，而cas为“cosine-and-sine”的缩写，其表示了实数值的赫特利变换（英语：Hartley transform）^[18][19]：

${\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}$ 

cas函数存在一些恒等式：

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}$ 

角和公式：

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}$ 

微分：

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$ 

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