数值微分

最简单的方式是使用有限差分近似。

简单的二点估计法是计算经过(x,f(x))及邻近点(x+h,f(x+h))二点形成割线的斜率^[1]选择一个小的数值h，表示x的小变化，可以是正值或是负值。其斜率为

${\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}.}$ 

此表示法是牛顿的差商，也称为一阶均差。

割线斜率和切线斜率有些差异，差异大约和h成正比。若h近似于0，则割线斜率近似于切线斜率。因此，函数f真正在x处真正的斜率是割线趋近切线时的差商：

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.}$ 

若直接将h用0取代会得到除以零的结果，因此计算导数需要一些较不直觉的的方式。

同様的，切线斜率也可以用(x - h)和x二点的割线斜率近似。

另外一种二点估计法是用经过(x-h,f(x-h))和(x+h,f(x+h))二点的割线，其斜率为

${\displaystyle {f(x+h)-f(x-h) \over 2h}.}$ 

上述公式称为对称差分，其一次项误差相消，因此割线斜率和切线斜率的差和${\displaystyle h^{2}}$ 成正比。对于很小的h而言这个值比单边近似还要准确。特别的是公式虽计算x点的斜率，但不会用到函数在x点的数值。

估计误差为：

${\displaystyle R={{-f^{(3)}(c)} \over {6}}h^{2}}$ ,

其中${\displaystyle c}$ 为在${\displaystyle x-h}$ 和${\displaystyle x+h}$ 之间的某一点。此误差没有包括因为有限准确度而产生的舍入误差。

很多工程计算机都是用对称差分来计算导数，像德州仪器（TI）的TI-82、TI-83、TI-84及TI-85，其h=0.001^[2][3]。

虽然在实务十分常用，但上述二种方式的数值微分常被研究者批评，尤其是被一些鼓励使用自动微分的研究者批评^[4]，因为上述的数值微分其精确度不高，若计算器精准度是六位数，用对称差分计算导数只有三位数的精确度，而若是找到一计算斜率的函数，仍可以有几乎六位数的精确度。例如假设f(x) = x²，用2x计算斜率有几乎完整的准确度，而用差分近似就会有上述的问题。

利用浮点数的实际考量

若计算时使用浮点数，就需要考虑h要取到多小。若选的太小，相减之后会有大的舍入误差，事实上整个有限差分的公式都是病态的^[5]，若h够小，导数不为零的情形下，在相消后会得到数值微分为零的结果^[6]，若h太大，计算割线斜率的结果就会更加准确，但用割线斜率估算切线斜率的误差就更大了。

一种可以产生够小的h，但又不会产生舍入误差的方式是${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}$ （不过x不能为0），其中最小浮点数（英语：machine epsilon）ε大约是2.2×10⁻¹⁶数量级。 ^[7]。以下是一个一个可以平衡舍入误差和公式误差，有最佳精确度的h为

${\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon |{f(x) \over f''(x)}|}}}$  ^[8] （不过f"(x) = 0时不成立），而且需要有关函数的资讯。

上述的最小浮点数是针对双精度（64-bit）变量，单精度变量在这类计算几乎不太实用。其计算结果在二进制中不太可能是“整数”。虽然x是可以用浮点数表示的数字，但x + h几乎不会也是可用浮点数表示（而且和x不同）的数字，因此x + h需调整为机器可读的数字，因此会出现(x + h) - x不等于h的情形，因此用二个函数计算值计算微分时，二个位置的差不会是h。几乎所有的十进制分数在二进制下都会是循环小数（都像1/3在十进制中的情形一様），例如h = 0.1在二进制下会是循环小数，是 0.000110011001100...。因此在浮点数下一个可能计算的方式是：

 h:=sqrt(eps)*x;
 xph:=x + h;
 dx:=xph - x;
 slope:=(F(xph) - F(x))/dx;

先计算(x + h) - x的值，再用这个值作为微分算式的分母，不过若是用电脑计算，编译器优化（英语：Optimizing compiler）的机能可能会认为dx和h相同，因此让上述的方式失效。若是用C或其他类似的编程语言，可以让xph宣告成Volatile变量，以避免此一问题。

高阶方法

也有用更高阶估计导数的方法，或是估计高阶导数的方法。

以下就是一阶导数的五点法（一维下的五点模版（英语：five-point stencil））^[9]

${\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c)}$ 

其中${\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}$ .

微分求积（英语：Differential quadrature）（Differential quadrature）是用函数在特定位置数值的加权和来近似导数^[10][11]，其名称类似数值积分中用的求积（quadrature），也就是像梯形法或是辛普森法中用的加权和，有许多方式可找出加权的系数，在求解偏微分方程时会用到微分求积。

传统用有限差分近似数值微分的方式是病态的，不过若${\displaystyle f}$ 是全纯函数，在实轴上的值都是实数，可以用复平面中靠近${\displaystyle x}$ 的位置来求值，此方式为数值稳定的方式，例如^[6]一阶导数可以用以下的复数导数公式计算^[12]：

${\displaystyle f'(x)\approx \Im (f(x+ih))/h}$ .

上述公式只在计一阶导数时有效，若要拓展到任意阶导数，需要用到多重复数，结果也会是多重复数的导数。^[13]

而任意阶的导数可以用柯西积分公式计算：

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} z}$ ,

其中积分会用数值积分计算。

Lyness和Moler在1967年提出用复变量来计算数值微分^[14]。Abate和Dubner提出一种用复数拉普拉斯变换的数值反演为基础的算法^[15]。

• 自动微分
• 差分
• 五点模板（英语：Five-point stencil）
• 数值积分
• 数值常微分方程（英语：Numerical ordinary differential equations）
• Savitzky–Golay滤波器（英语：Savitzky–Golay filter）
• 数值分析软件列表（英语：List of numerical analysis software）

• http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20130820223117/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html
• Numerical Differentiation Resources: Textbook notes, PPT, Worksheets, Audiovisual YouTube Lectures at Numerical Methods for STEM Undergraduate
• ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF^{[失效链接]} Fortran code for the numerical differentiation of a function using Neville's process to extrapolate from a sequence of simple polynomial approximations.
• NAG Library numerical differentiation routines （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://graphulator.com （页面存档备份，存于互联网档案馆） Online numerical graphing calculator with calculus function. （页面存档备份，存于互联网档案馆）