差分

差分分为前向差分和逆向差分。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数${\displaystyle \ f(x)}$ ，如果在等距节点：

${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)}$ 

${\displaystyle \ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})}$ 

则称${\displaystyle \ \Delta f(x)}$ ，函数在每个小区间上的增量${\displaystyle y_{k+1}-y_{k}}$ 为${\displaystyle \ f(x)}$ 一阶差分。^[1]

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当${\displaystyle \ f(x)}$ 是多项式时，前向差分为Delta算子（称${\displaystyle \Delta }$ 为差分算子^[2]），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数${\displaystyle \ f(x_{k})}$ ，如果：

${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,}$ 

则称${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})}$ 为${\displaystyle \ f(x)}$ 的一阶逆向差分。

一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$ 为${\displaystyle \ f(x)}$ 的${\displaystyle \ n}$ 阶差分。

如果

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$	${\displaystyle \ =\Delta \{\Delta ^{n-1}[f](x)\}}$
	${\displaystyle \ =\Delta ^{n-1}[f](x+1)-\Delta ^{n-1}[f](x)}$

根据数学归纳法，有

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}$ 

其中，${\displaystyle \ {n \choose i}}$ 为二项式系数。

特别的，有

${\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}$ 

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

• 如果C为常数，则有

${\displaystyle \Delta C=0}$ 

• 线性：如果 ${\displaystyle \ a}$  和 ${\displaystyle \ b}$  为常数，则有

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}$ 

• 乘法定则：

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g}$ 

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g}$ 

• 除法定则：

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$ 

${\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$ 

或

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$ 

${\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}$ 

• 级数：

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}$ 

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}$ 

牛顿插值公式也叫做牛顿级数，由“牛顿前向差分方程”的项组成，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五^[3]，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。

单位步长情况

当${\displaystyle x}$ 值间隔为单位步长${\displaystyle 1}$ 时，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod _{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}}$ 

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。这里的表达式

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$ 

是二项式系数，其中的${\displaystyle (x)_{k}}$ 是“下降阶乘幂”(另一种常见的标记法为${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ )，空积${\displaystyle (x)_{0}}$ 被定义为${\displaystyle 1}$ 。这里的${\displaystyle \Delta _{k}\left[f\right](x)}$ 是“前向差分”的特定情况，即间距${\displaystyle h=1}$ 。

实例

为了展示牛顿的这个公式是如何使用的，举例数列 1, 4, 9,16...的前几项，可以找到一个多项式重新生成这些值，首先计算一个差分表，接着将对应于x₀（标示了下划线）的这些差分代换入公式，

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$ 

一般情况

对于x值间隔为非一致步长的情况，牛顿计算均差，在间隔一致但非单位量时，即上述前向差分的一般情况，插值公式为：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}$ 

在最终公式中h^k被消去掉了，对于非一致步长的情况则不会出现阶乘。

• 递归
• 招差术
• 递推关系式
• 拉格朗日多项式
• 吉尔布雷斯猜想
• 牛顿多项式
• 牛顿级数表
• 泰勒级数
• 时标微积分
• 分部求和法

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M ^{[永久失效链接]}.