牛顿多项式 本条目存在以下问题，请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。 此条目需要扩充。 (2013年12月16日)请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。此条目没有列出任何参考或来源。 (2013年12月15日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2013年12月16日)请邀请适合的人士改善本条目。更多的细节与详情请参见讨论页。牛顿多项式（英语：Newton Polynomial）是数值分析中一种用于插值的多项式，以英格兰数学家暨物理学家牛顿命名。 定义 给定包含 k + 1 {\displaystyle k+1} 个数据点的集合 ( x 0 , y 0 ) , … , ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})} 。 如果对于 ∀ i , j ∈ { 0 , . . . , k } , i ≠ j {\displaystyle \forall i,j\in \left\{0,...,k\right\},i\neq j} ，满足 x i ≠ x j {\displaystyle x_{i}\neq x_{j}} ，那么应用牛顿插值公式所得到的牛顿插值多项式为 N ( x ) := ∑ j = 0 k a j n j ( x ) {\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)} 其中每个 n j ( x ) {\displaystyle n_{j}(x)} 为牛顿基本多项式（或称插值基函数），其表达式为 n j ( x ) := ∏ i = 0 j − 1 ( x − x i ) {\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})} 其中 j > 0 {\displaystyle j>0} ，并且 n 0 ( x ) ≡ 1 {\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1} 。 系数 a j := [ y 0 , … , y j ] {\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]} ，而 [ y 0 , … , y j ] {\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]} 表示差商。 差商表（高阶差商是两个低一阶差商的差商） 0 {\displaystyle 0} 阶差商 1 {\displaystyle 1} 阶差商 2 {\displaystyle 2} 阶差商 3 {\displaystyle 3} 阶差商 … {\displaystyle \ldots } k − 1 {\displaystyle k-1} 阶差商 x 0 {\displaystyle x_{0}} f [ x 0 ] {\displaystyle f[x_{0}]} x 1 {\displaystyle x_{1}} f [ x 1 ] {\displaystyle f[x_{1}]} f [ x 0 , x 1 ] {\displaystyle f[x_{0},x_{1}]} x 2 {\displaystyle x_{2}} f [ x 2 ] {\displaystyle f[x_{2}]} f [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle f[x_{1},x_{2}]} f [ x 0 , x 1 , x 2 ] {\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2}]} x 3 {\displaystyle x_{3}} f [ x 3 ] {\displaystyle f[x_{3}]} f [ x 2 , x 3 ] {\displaystyle f[x_{2},x_{3}]} f [ x 1 , x 2 , x 3 ] {\displaystyle f[x_{1},x_{2},x_{3}]} f [ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] {\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]} … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } x k {\displaystyle x_{k}} f [ x k ] {\displaystyle f[x_{k}]} f [ x k − 1 , x k ] {\displaystyle f[x_{k-1},x_{k}]} f [ x k − 2 , x k − 1 , x k ] {\displaystyle f[x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]} f [ x k − 3 , x k − 2 , x k − 1 , x k ] {\displaystyle f[x_{k-3},x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]} … {\displaystyle \ldots } f [ x 0 , … , x k ] {\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k}]} 因此，牛顿多项式可以写作： N ( x ) = [ y 0 ] + [ y 0 , y 1 ] ( x − x 0 ) + ⋯ + [ y 0 , … , y k ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x k − 1 ) {\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1})} 参考文献 参见 插值 多项式插值 拉格朗日插值法