均差

均差(Divided differences)是递归除法过程。在数值分析中,可用于计算牛顿多项式形式的多项式插值的系数。在微积分中,均差与导数一起合称差商,是对函数在一个区间内的平均变化率的测量[1][2][3]

均差也是一种算法查尔斯·巴贝奇差分机,是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算机,在历史上意图用来计算对数表和三角函数表, 它设计在其运算中使用这个算法[4]

定义

给定n+1个数据点

 

定义前向均差为:

 

定义后向均差为:

 

表示法

假定数据点给出为函数 ƒ,

 

其均差可以写为:

 

对函数 ƒ 在节点 x0, ..., xn 上的均差还有其他表示法,如:

 

例子

给定ν=0:

 

为了使涉及的递归过程更加清楚,以列表形式展示均差的计算过程[5]

 

展开形式

数学归纳法可证明[6]

 

此公式体现了均差的对称性质。[7]故可推知:任意调换数据点次序,其值不变。[8]

性质

  • 对称性:若 是一个排列
 
 
 
 

等价定义

通过对换 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1),可得到等价定义:

 

这个定义有着不同的计算次序:

 

以列表形式展示这个定义下均差的计算过程[9]

 

牛顿插值法

 
自然哲学的数学原理》的第三编“宇宙体系”的引理五的图例。这里在横坐标上有6个点H,I,K,L,M,N,对应着6个值A,B,C,D,E,F,生成一个多项式函数对这6个点上有对应的6个值,计算任意点S对应的值R。牛顿给出了间距为单位值和任意值的两种情况。

牛顿插值公式,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。

使用均差的牛顿插值法[10]

 

可以在计算过程中任意增添节点如点(xn+1,yn+1),只需计算新增的n+1阶均差及其插值基函数,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

对均差采用展开形式[11]

 

以2阶均差牛顿插值为例:

 

前向差分

当数据点呈等距分布的时候,这个特殊情况叫做“前向差分”。它们比计算一般的均差要容易。

定义

给定n+1个数据点

 

有着

 

定义前向差分为:

 

前向差分所对应的均差为[12]

 

例子

 

展开形式

差分的展开形式是均差展开形式的特殊情况[13]

 

这里的表达式

 

二项式系数,其中的(n)k是“下降阶乘幂”,空积(n)0被定义为1。

插值公式

其对应的牛顿插值公式为:

 

无穷级数

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了ln(1+x)的无穷级数,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的无穷级数,在1669年的《分析学》中发表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的无穷级数;莱布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[14]中研讨了“有限差分”方法,其中论述了他在1712年得出的泰勒定理,这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出,而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差的步长取趋于0的极限,得出:

 

幂函数的均差

使用普通函数记号表示幂运算, ,有:

 

此中n+1元m次齐次多项式的记法同于多项式定理

泰勒形式

泰勒级数和任何其他的函数级数,在原理上都可以用来逼近均差。将泰勒级数表示为:

 

均差的泰勒级数为:

 

 项消失了,因为均差的阶高于多项式的阶。可以得出均差的泰勒级数本质上开始于:

 

依据均差中值定理英语Mean value theorem (divided differences),这也是均差的最简单逼近。

皮亚诺形式

均差还可以表达为

 

这里的Bn-1是数据点x0,...,xn的n-1次B样条,而f(n)是函数f的n阶导数。这叫做均差的皮亚诺形式,而Bn-1是均差的皮亚诺核。

注释与引用

  1. ^ Frank C. Wilson; Scott Adamson. Applied Calculus. Cengage Learning. 2008: 177. ISBN 0-618-61104-5. 
  2. ^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 237. ISBN 978-1-61865-686-5. 
  3. ^ Thomas Hungerford; Douglas Shaw. Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. Cengage Learning. 2008: 211–212. ISBN 0-495-10833-2. 
  4. ^ Isaacson, Walter. The Innovators. Simon & Schuster. 2014: 20. ISBN 978-1-4767-0869-0. 
  5. ^
     
  6. ^
     
  7. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  8. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
  9. ^
     
  10. ^ The Newton Polynomial Interpolation. [2019-04-19]. (原始内容存档于2019-04-19). 
  11. ^
     
  12. ^ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas. Numerical Analysis 9th. 2011: 129. 
  13. ^
     
  14. ^ Methodus Incrementorum Directa et Inversa页面存档备份,存于互联网档案馆

参考书目

  • Louis Melville Milne-Thomson. The Calculus of Finite Differences. American Mathematical Soc. 2000. Chapter 1: Divided Differences [1933]. ISBN 978-0-8218-2107-7. 
  • Myron B. Allen; Eli L. Isaacson. Numerical Analysis for Applied Science. John Wiley & Sons. 1998. Appendix A. ISBN 978-1-118-03027-1. 
  • Ron Goldman. Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curves and Surfaces for Geometric Modeling. Morgan Kaufmann. 2002. Chapter 4:Newton Interpolation and Difference Triangles. ISBN 978-0-08-051547-2. 

参见