动量算符

对于一个非相对论性的自由粒子，位势 ${\displaystyle V(x)=0\,\!}$  ，不含时薛定谔方程表达为

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\!}$  。

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$  是约化普朗克常数，${\displaystyle m\,\!}$  是粒子的质量，${\displaystyle \psi (x)\,\!}$  是粒子的波函数，${\displaystyle x\,\!}$  是粒子的位置，${\displaystyle E\,\!}$  是粒子的能量。

这薛定谔方程的解答 ${\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!}$  是一个平面波：

${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle k\,\!}$  是波数，${\displaystyle k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\!}$  。

根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是

${\displaystyle p=\hbar k\,\!}$  。

自由粒子具有明确的动量 ${\displaystyle p\,\!}$  ，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量所作的测量，都得到同样的测量值 ${\displaystyle p\,\!}$  ，那么，不确定性 ${\displaystyle \sigma _{p}=0\,\!}$  ，这自由粒子的量子态是确定态，是 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 ${\displaystyle \psi _{k}\,\!}$  ，本征值为 ${\displaystyle p\,\!}$  ：

${\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)=p\psi _{k}(x)\,\!}$  。

换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 ${\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!}$  ^[1]。

为了要达到此目标，势必要令

${\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!}$  。

所以，可以认定动量算符的形式为

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}$  。

在经典力学里，动量是质量乘以速度：

${\displaystyle p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\!}$  。

在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是概率性的。所以，猜想这句话是以期望值的方式来实现^[2]：

${\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!}$  。

那么，用积分方程来表达，

${\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \Psi (x,\,t)\,\!}$  是波函数。

取微分于积分号下，

${\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!}$  。

由于 ${\displaystyle x\,\!}$  只是一个位置的统计参数，不跟时间有关，

${\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!}$  。(1)

含时薛定谔方程为

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\!}$  ；

其中， ${\displaystyle V\,\!}$  是位势。

其共轭复数为

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{*}\,\!}$  。

将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\!}$  。

使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数${\displaystyle \Psi \,\!}$ 趋于零的特性，有

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$  ，(2)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$  。(3)

方程 (2) 与 (3) 的减差（使用分部积分法，并利用当x趋于无穷大时波函数${\displaystyle \Psi \,\!}$ 趋于零的特性）

${\displaystyle (2)-(3)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!}$  。

所以，

${\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\!}$  。

对于任意波函数 ${\displaystyle \Psi \,\!}$  ，这方程都成立。因此，可以认定动量算符 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  为 ${\displaystyle {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!}$  。

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 ${\displaystyle O\,\!}$  的期望值是实值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$  。

对于任意量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  ，这关系都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$  。

根据伴随算符的定义，假设 ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$  是 ${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$  的伴随算符，则 ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$  。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$  。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$  ，都是厄米算符。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  的波函数为 ${\displaystyle \psi (x)\,\!}$  ，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \\\end{aligned}}}$  。

对于任意量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  ，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$  。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

假设，动量算符 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  的本征值为 ${\displaystyle p\,\!}$  的本征函数是 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  ：

${\displaystyle {\hat {p}}f_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f_{p}(x)}{\partial x}}=pf_{p}(x)\,\!}$  。

这方程的一般解为，

${\displaystyle f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/\hbar }\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle f_{0}\,\!}$  是常数。

假设 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  的定义域是一个有限空间，从 ${\displaystyle x=-L\,\!}$  到 ${\displaystyle x=L\,\!}$  ，那么，可以将 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  归一化：

${\displaystyle \int _{-L}^{L}\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-L}^{L}\ dx=|f_{0}|^{2}2L=1\,\!}$  。

${\displaystyle f_{0}\,\!}$  的值是 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2L}}\,\!}$  。动量算符的本征函数归一化为 ${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2L}}}e^{ipx/\hbar }\,\!}$  。

假设 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  的定义域是无穷大空间，则 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  不是一个平方可积函数：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ dx=\infty \,\!}$  。

动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内，不能直接地积分 ${\displaystyle |f_{p}(x)|^{2}\,\!}$  于无穷大空间，来使 ${\displaystyle f_{p}(x)\,\!}$  归一化。

换另一种方法，设定 ${\displaystyle f_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\!}$  。那么，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(p1-p2)x/\hbar }\ dx=\delta (p1-p2)\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \delta (p1-p2)\,\!}$  是狄拉克δ函数。

这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 ${\displaystyle \psi (x)\,\!}$  都可以表达为本征函数的线性组合：

${\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }c(p)f_{p}(x)\ dp={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }c(p)e^{ipx/\hbar }\ dp\,\!}$  ；

其中，系数 ${\displaystyle c(p)\,\!}$  是

${\displaystyle c(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{p}^{*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hbar }\ dx\,\!}$  。

位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果：

${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\!}$  。

所以，${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\!}$  。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。${\displaystyle {\hat {x}}\,\!}$  与 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，${\displaystyle {\hat {x}}\,\!}$  的本征态与 ${\displaystyle {\hat {p}}\,\!}$  的本征态不同。

根据不确定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\!}$  。

由于 ${\displaystyle x\,\!}$  与 ${\displaystyle p\,\!}$  是两个不相容可观察量，${\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\!}$  。所以，${\displaystyle x\,\!}$  的不确定性与 ${\displaystyle p\,\!}$  的不确定性的乘积 ${\displaystyle \Delta x\ \Delta p\,\!}$  ，必定大于或等于 ${\displaystyle \hbar /2\,\!}$  。