阿蒂亚-辛格指标定理

• X 是紧微分流形。
• E 与 F 是 X 上的向量丛。
• ${\displaystyle D:E\to F'}$ 是向量丛之间的椭圆偏微分算子。

设 ${\displaystyle D}$  是带 ${\displaystyle k}$  个变元 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$  的 ${\displaystyle n}$  阶微分算子。其符号定义是以 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k}}$  为变元的函数，其定义是将

${\displaystyle D=\sum _{r=0}^{n}\sum _{i_{1}+\ldots +i_{k}=r}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}({\vec {x}})\partial _{x_{1}}^{i_{1}}\cdots \partial _{x_{k}}^{i_{k}}}$ 

映至

${\displaystyle \sum _{i_{1}+\ldots +i_{k}=n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}({\vec {x}})y_{1}^{i_{1}}\cdots y_{k}^{i_{k}}}$ 

因此符号对变元 ${\displaystyle {\vec {y}}}$  是个 n 次齐次多项式。若此多项式满足 ${\displaystyle P({\vec {y}})=0\Leftrightarrow {\vec {y}}=0}$ ，则称 ${\displaystyle D}$  是椭圆算子。

例一. 带 ${\displaystyle k}$  个变元的拉普拉斯算子其符号为 ${\displaystyle y_{1}^{2}+\ldots y_{k}^{2}}$ ，这是一个椭圆算子。

以上所述是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$  上的偏微分算子。今考虑微分流形 ${\displaystyle X}$ ，其上的 ${\displaystyle n}$  阶偏微分算子可以藉局部坐标系定义。此时其符号是 ${\displaystyle X}$  的余切丛 ${\displaystyle p:T^{*}X\to X}$  上的函数；对固定的 ${\displaystyle x\in X}$ ，其符号是向量空间 ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$  上的 ${\displaystyle n}$  次齐次函数，此定义与局部座标的选取无关（偏微分算子在坐标变换下的变换较为复杂，只能以射流丛定义；然而其最高阶项的变换规律似于张量）。

进一步言之，对于向量丛之间的偏微分算子 ${\displaystyle D:E\to F}$ （一样以局部坐标定义），其符号是拉回丛 ${\displaystyle p^{*}\mathrm {Hom} (E,F)}$  的截面。若对每个 ${\displaystyle x\in X}$ ，此符号限制为可逆映射 ${\displaystyle E_{x}\to F_{x}}$ ，则称 ${\displaystyle D}$  为椭圆算子。

粗略来说，椭圆算子的关键特性在于它们“几乎”可逆。对于紧流形上的椭圆算子 ${\displaystyle D:E\to F}$ ，存在一个椭圆伪微分算子 ${\displaystyle D'}$  使得 ${\displaystyle DD'}$  与 ${\displaystyle D'D}$  都是紧算子。由此可推知 ${\displaystyle D}$  的核与余核都是有限维的。

既然 ${\displaystyle D}$  有伪逆，它便是 Fredholm 算子。对这类算子，可定义指标为

Index(D) = Dim Ker(D) − Dim Coker(D) = Dim Ker(D) − Dim Ker(D^*)。

在微分几何的脉络下，常另称为${\displaystyle D}$ 的解析指标。

例二. 考虑流形 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}:=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ，算子 ${\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-\lambda }$ ，其中 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ，这是最简单的椭圆算子。若 ${\displaystyle \lambda \in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ，则 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (D)=\mathbb {C} e^{\lambda x}}$ ，反之则为零空间；其伴随算子 ${\displaystyle D^{*}}$  满足类似的性质，不难算出 ${\displaystyle D}$  的指数为零。由此例可见 ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} (D)}$  与 ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} (D^{*})}$  在 ${\displaystyle \lambda }$  变化时可能有不连续点，但其差则是个常数。

设 ${\displaystyle X}$  是 n 维紧微分流形，椭圆偏微分算子 ${\displaystyle D:E\to F}$  的拓扑指标定义为

${\displaystyle (-1)^{n}\mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)}$ 

换言之，是同调类 ${\displaystyle \mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)}$  的最高维项在 ${\displaystyle X}$  的基本同调类上的取值。在此：

• ${\displaystyle \mathrm {Td} (X)}$  是流形的 Todd 类。
• ${\displaystyle \mathrm {ch} (D)=\phi ^{-1}(\mathrm {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))}$ ，在此 ${\displaystyle \phi :H^{k}(X,\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X),\mathbb {Q} )}$  是托姆同构，${\displaystyle B(X),S(X)}$  指单位球丛及其边界。
• ${\displaystyle \mathrm {ch} }$  是陈特征，${\displaystyle \sigma (D)}$  是 ${\displaystyle D}$  的符号，而 ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$  是 K 理论中定义的差元。

在特别的情况下，上方的定义可以被简单化。设${\displaystyle X}$ 为一个 ${\displaystyle 2m}$ 维、可定向、紧的流行，还假设它的欧拉示性数不等于零。引用托姆同构并从分类空间${\displaystyle BSO}$ 的上同调环拉回欧拉类的逆元，我们可以将拓朴指标写为

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$ 

符号同前。椭圆算子 ${\displaystyle D}$  的解析指标在微小的扰动下不变，因此产生了一个自然的问题，称为指标问题：可否以流形 ${\displaystyle X}$  及向量丛 ${\displaystyle E,F}$  的拓扑不变量表示解析指标？

阿蒂亚-辛格指标定理给出的解答是：

D 的解析指标等于拓扑指标

解析指标通常难以计算，而拓扑指标尽管定义复杂，却往往有直截了当的几何意义。借由选取适当的椭圆算子 ${\displaystyle D:E\to F}$ ，指标定理可以给出丰富的几何信息。

欧拉示性数

设 ${\displaystyle X}$  为有定向的紧流形。任选一黎曼度量，取 ${\displaystyle E:=\bigwedge ^{\mathrm {even} }T^{*}X}$ ，并取 ${\displaystyle F:=\bigwedge ^{\mathrm {odd} }T^{*}X}$ ，定义算子 ${\displaystyle D:=d+d^{*}:E\to F}$ 。此时的拓扑指标等于 ${\displaystyle X}$  的欧拉示性数，解析指标等于 ${\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}\dim H_{\mathrm {DR} }^{i}(X)}$ 。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理

设 ${\displaystyle X}$  为紧复流形，${\displaystyle V}$  为其上的复向量丛。定义

${\displaystyle E:=V\otimes \bigoplus _{i:\mathrm {even} }\Omega _{X}^{0,i}}$ 

${\displaystyle F:=V\otimes \bigoplus _{i:\mathrm {odd} }\Omega _{X}^{0,i}}$ 

${\displaystyle D:={\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}:E\to F}$ 

则解析指标等于

${\displaystyle \mathrm {Index} (D)=\sum (-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)}$ 

而拓扑指标等于

index(D) = ch(V)Td(X)[X],

 亏格与 Rochlin 定理

流形的Â亏格是个有理数。对于自旋流形，这个值总是整数，若 ${\displaystyle \dim X\equiv 4\mod 8}$ ，则它还是个偶数。这个定理可以由指标定理导出，方法是考虑适当的狄拉克算子；当 ${\displaystyle \dim X\equiv 4\mod 8}$  时，此算子的核与余核带有四元数环上的向量空间结构，其复维度必为偶数，因此解析指标也必然是偶数。

盖尔芳特首先注意到解析指标的同伦不变性，并在1959年提出了椭圆算子的指标问题，希望以流形的拓扑不变量描述解析指标。黎曼-罗赫定理是最早知道的特例；另一方面，波莱尔与希策布鲁赫早先证明了自旋流形的Â亏格的整性，并猜想这个性质可以由某个狄拉克算子的指标诠释。这个问题也由阿蒂亚与辛格在1961年联手解决。

阿蒂亚与辛格在1963年宣布他们的指标定理，但一直没有正式发表，只出现在 Palais 在1965年出版的书上。他们在1968年发表了第二个证明，用K理论取代了初版证明中的配边论手法。

阿蒂亚、博特与 Patodi 在 1973 年以热传导方程的手法给出另一个证明。格茨勒基于爱德华·维腾（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，给出了局部狄拉克算子的局部指标定理的简短证明，这涵摄了实际应用中的大多数例子。

伪微分算子

伪微分算子的想法可以从欧氏空间上的常系数偏微分算子解释，在此情况下，这些算子不外是多项式函数的傅立叶变换；如果我们容许更一般的函数，其傅立叶变换就构成了伪微分算子。对于一般的流形，可以透过局部坐标系定义伪微分算子，只是手续稍微繁琐一些。

指标定理的许多证明中都利用伪微分算子，而非一般的微分算子，因为前者的理论更富弹性。举例来说，椭圆算子的伪逆不是微分算子，却仍是伪微分算子；另一方面，群 ${\displaystyle K(B(X),S(X))}$  的元素对应到椭圆伪微分算子的符号。

对伪微分算子可以定义阶数，这个数可以是任意实数，甚至是负无穷大；此外也能定义其符号。椭圆伪微分算子定义为些对长度够长的余切向量为可逆的伪微分算子。指标定理的多数版本皆可推广到椭圆伪微分算子的情形。

配边

指标定理的首个证明奠基于希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理，并运用到配边理论与伪微分算子。想法简述如下。

考虑由资料 ${\displaystyle (X,V)}$  构成的环，其中 ${\displaystyle X}$  是紧定向微分流形，${\displaystyle V\to X}$  是向量丛，其加法与乘法分别由不交并与积导出；我们考虑此环对关系 ${\displaystyle (\partial X,V|_{\partial X})\sim 0}$  的商环。这个构造类似于配边环，不过此时我们还虑及流形上的向量丛。解析指标与拓扑指标皆可诠释为从此环映至整数环的同态。托姆的配边理论给出了这个环的一组生成元，我们可以对这些较简单的例子验证指标定理，从而导出一般的情形。

K 理论

阿蒂亚与辛格正式发表的第一个证明采用了K-理论。设 ${\displaystyle X,Y}$  为紧流形，${\displaystyle i:X\to Y}$  为闭浸入，他们对椭圆算子定义了一个推前运算 ${\displaystyle i_{!}}$ ，并证明 ${\displaystyle i_{!}}$  保持指标。我们一方面可取 ${\displaystyle Y}$  为一个包括 ${\displaystyle X}$  的高维球面；另一方面，仍取 ${\displaystyle Y}$  为前述球面，而 ${\displaystyle X}$  为其内一点。由于 ${\displaystyle i_{!}}$  保持指标，而拓扑指标也具备相容的运算，两相比较后可将指标定理化约到一个点的情形，此时极易证明。

热传导方程

阿蒂亚、博特 与 Patodi 在1973年给出了热传导方程手法的证明。格茨勒、伯利纳与弗尼在2002年给出一个精神相近的简化证明，其中利用了超对称的想法。

设 ${\displaystyle D}$  为偏微分算子，${\displaystyle D^{*}}$  为其伴随算子，则 ${\displaystyle D^{*}D}$ 、${\displaystyle DD^{*}}$  是自伴算子，并具有相同的非零特征值（记入重数），但是它们核空间不一定有相同维度。${\displaystyle D}$  的指标写作

${\displaystyle \mathrm {Index} (D)=\dim \mathrm {Ker} (D)-\dim \mathrm {Ker} (D^{*})=\mathrm {Tr} (e^{-tD^{*}D})-\mathrm {Td} (e^{-tDD^{*}})}$ 

在此 ${\displaystyle t>0}$  可任取。

上式右侧是两个热核的差，它们在 ${\displaystyle t\to 0+}$  时有渐近表示式，它乍看复杂，但不变量理论表明其中有许多相销项，借此可明确写下领导项，由此可证出指标定理。这些相销现象稍后也得到超对称理论的诠释。

• 推广至椭圆伪微分算子的情形。
• 考虑更一般的椭圆复形，这是一个由向量丛构成的上链复形

0 → E₀ → E₁ →E₂ → ... → E_m →0

其中的每个箭头都是伪微分算子，其符号构成一个正合复形。当只有两项非零时，前述条件等价于其间的算子是椭圆的，因此椭圆算子是椭圆复形的特例。反过来说，给定一个椭圆复形，分别考虑其奇次项与偶次项的直和，其间的映射由原复形的映射及伴随映射给出，如此则可得到椭圆算子。

• 带边界的流形。
• 考虑一族以流形 ${\displaystyle Y}$  为参数空间而变化椭圆算子，相应的解析指数可定义为 ${\displaystyle K(Y)}$  的元素。
• 设李群 ${\displaystyle G}$  作用在紧流形 ${\displaystyle X}$  上，并与所论的椭圆算子交换，则我们可以用等变K理论替代一般的K理论，得到的结果称为等变指标定理。
• L² 指标定理。

当阿蒂亚与辛格在2004年获得阿贝尔奖时，公告上是这么形容阿蒂亚-辛格指标定理的：

书籍

• Atiyah, Michael, Collected works. Vol. 3. Index theory: 1., Oxford Science Publications, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1988a, ISBN 0-19-853277-6 
• Atiyah, Michael, Collected works. Vol. 4. Index theory: 2., Oxford Science Publications, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1988b, ISBN 0-19-853278-4 
• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle, Heat Kernels and Dirac Operators, 2004, ISBN 3540200622  利用热传导方程与超对称手法证明狄拉克算子的指标定理。
• Gilkey, Peter B., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem, 1994 [2008-04-05], ISBN 0849378745, （原始内容存档于2019-12-29）  采用热传导方程手法的课本，可自由下载。
• Melrose, Richard B., The Atiyah-Patodi-Singer Index Theorem, 1993 [2008-04-05], ISBN 1568810024, （原始内容存档于2021-03-08）  可自由下载。
• Palais, Richard S., Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem, Annals of Mathematics Studies 57, 1965, ISBN 0691080313  描述了指标定理的原始证明。
• Shanahan, P., The Atiyah-Singer index theorem: an introduction, Lecture Notes in Mathematics 638, Springer, 1978 [2008-04-05], ISBN 0387086609, （原始内容存档于2007-09-27） 

论文

• Atiyah, M. F., Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras, Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974), Asterisque 32–33, Soc. Math. France, Paris: 43–72, 1976 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., 1963, 69: 322–433 [2008-04-05], （原始内容存档于2009-02-11） 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators I, Ann. Math., 1968a, 87: 484–530 
• Atiyah, M. F.; Segal, G. B., The Index of Elliptic Operators: II, The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1968, 87 (3): 531–545 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators III., The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1968b, 87 (3): 546–604 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators IV., The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1971, 93 (1): 119–138 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators V., The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1971, 93 (1): 139–149 .
• Atiyah, M. F.; Bott, R., A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators., Bull. Am. Math. Soc., 1966, 72: 245–50 .
• Atiyah, M. F.; Bott, R., A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I, The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1967, 86 (2): 374–407  and Atiyah, M. F.; Bott, R., A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications., The Annals of Mathematics 2nd Ser., 1968, 88 (3): 451–491 
• Atiyah, M.; Bott, R.; Patodi, V. K., On the heat equation and the index theorem, Invent. Math., 1973, 19: 279–330, doi:10.1007/BF01425417 Errata, Invent. Math., 1975, 28: 277–280, doi:10.1007/BF01425562 
• Atiyah, Michael; Schmid, Wilfried, A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups, Invent. Math., 1977, 42: 1–62, doi:10.1007/BF01389783 , Erratum:, Invent. Math., 1979, 54 (2): 189–192, doi:10.1007/BF01408936 
• Bismut, Jean-Michel, The Atiyah–Singer Theorems: A Probabilistic Approach. I. The index theorem. (PDF), J. Funct. Analysis, 1984, 57: 56–99 [2008-04-05], （原始内容存档 (PDF)于2008-03-06）  Bismut 用几率论的手法证明指标定理。
• Gel'fand, I. M., On elliptic equations, Russ. Math.Surv., 1960, 15 (3): 113–123  重印于他的全集第一卷, p. 65-75,  
• Getzler, E., A short proof of the local Atiyah–Singer index theorem, Topology, 1988, 25: 111–117, doi:10.1016/0040-9383(86)90008-X 
• Witten, E., Supersymmetry and Morse theory, J. Diff. Geom., 1982, 17: 661–692 

• Rafe Mazzeo: The Atiyah-Singer Index Theorem: What it is and why you should care （页面存档备份，存于互联网档案馆）. PDF 格式.
• Raussen, Skau, Interview with Atiyah, Singer （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators
• M. I. Voitsekhovskii, M.A. Shubin, Index formulas, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A. J. Wassermann, Lecture Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem