伽罗瓦上同调

在数学中，伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之，假设伽罗瓦群 $G=G_{L/K}$ 作用在一个群 $A$ （通常是数论中出现的代数结构，如 $L,L^{\times },C_{L}$ 等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 $H^{i}(G,A)$ 。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。

伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。

在代数数论中的应用

伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。

在代数几何中的应用

伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题，例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用，第一个伽罗瓦上同调群分类了概形 $\mathrm {Spec} (K)$ 上的扭子，这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论，可以用伽罗瓦上同调研究二次型式、中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。

文献

Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1867431, ISBN 978-3-540-42192-4, translation of Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).