商环

设${\displaystyle R}$ 为一环，${\displaystyle I\subset R}$ 为一双边理想。定义下述等价关系

${\displaystyle x\sim y\iff x-y\in I}$ 

令${\displaystyle R/I}$ 为其等价类的集合，其中的元素记作${\displaystyle a+I}$ ，其中${\displaystyle a}$ 是该元素在${\displaystyle R}$ 上任一代表元。我们可以在${\displaystyle R/I}$ 上定义环结构：

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ 

${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=ab+I}$ 

以上运算是明确定义的（在第二式中须用到${\displaystyle I}$ 是双边理想）。集合${\displaystyle R/I}$ 配合上述运算称作${\displaystyle R}$ 对${\displaystyle I}$ 的商环。根据定义，商映射${\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I}$ 是满的环同态，${\displaystyle I}$ 为此同态的核。

如果${\displaystyle R}$ 含单位元${\displaystyle 1}$ ，则${\displaystyle 1+I}$ 是${\displaystyle R/I}$ 的单位元。

注：若条件弱化为${\displaystyle I}$ 是左（或右）理想，上述两式仍可赋予集合${\displaystyle R/I}$ 左（或右）${\displaystyle R}$ -模结构。

• 最平凡的例子是${\displaystyle I=(0),I=R}$ ，此时分别得到${\displaystyle R/(0)=R,R/R=(0)}$ 。
• 取${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z} }$ ，商环${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 可视为模运算的代数框架，其中的元素即模${\displaystyle n}$ 的剩余类。
• 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环${\displaystyle R=\mathbb {R} [X]}$ ，${\displaystyle I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$ ，则商环${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ 与复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 同构（考虑映射${\displaystyle f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)}$ ）。一般而言，设${\displaystyle F}$ 为一个域，${\displaystyle p(X)\in F[X]}$ 为${\displaystyle F}$ 上的不可约多项式，则商环${\displaystyle F[X]/p(X)}$ 的意义在于抽象地在${\displaystyle F}$ 上加进${\displaystyle p(X)}$ 的一个根。

商环由下述泛性质唯一决定（至多差一个同构）：

设${\displaystyle \pi :R\rightarrow R/I}$ 为商同态；对任何环同态${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$ ，若 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )\supset I}$ ，则存在唯一的同态${\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S}$ ，使得${\displaystyle \psi \circ \pi =\phi }$ 。

事实上，若更设${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )=(0)}$ ，则${\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S}$ 是单射。准此，${\displaystyle R}$ 的同态像无非是${\displaystyle R}$ 的商环。

理想的性质常与其商环相关，例如当${\displaystyle R}$ 是交换含幺环时，${\displaystyle I}$ 是素理想（或极大理想）当且仅当${\displaystyle R/I}$ 是整环（或域）；${\displaystyle R}${\displaystyle R}  中包含${\displaystyle I}$ 的理想一一对应于${\displaystyle R/I}$ 中的所有理想，此对应由商映射的逆像给出。

• Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X