Pin群

数学中,Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射,就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间,但对定二次型,两者都正确。

一般定义

确定形式

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射,每个分支都是单连通的:它是正交群的二重复叠。正定二次型   和它的负形式   不是同构的,但是正交群是同构的 [注 1]

就标准形式而言, ,但是  。使用 Clifford 代数(这里  )中通用的“±”号记法,我们可以写成

 

它们都是到   的满射。

与之对比,我们有同构[注 2] 且他们都是特殊正交群 SO(n) 惟一的万有覆叠

不定形式

作为拓扑空间

任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间,这个空间有惟一的群结构作为基本群中心扩张。对一个不连通拓扑空间,含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠,然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠(这是单位分支的主齐性空间),但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间,由 Clifford 代数中得出:存在其他类似的群,对于于其他分支的其他二重复叠或者其他群结构,但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群,研究得也少。

结构

两个 Pin 群对应于中心扩张

 

 (行列式为 1 的分支)上的群结构已经定义好了;其余分支的群结构由中心确定,从而有一个   分歧。

两个扩张由一个反射的原像的平方是   区分,这两个 Pin 群即是这样命名的。明确地说,一个反射在   中的指数为 2, ,所以反射的原像的平方(具有行列式 1)一定在   的核中,所以  ,两种选择都确定了一个 Pin 群(因为所有反射共轭于联通群   的中一个元素,所有反射的平方一定具有相同值)。

具体地,在   中,  的指数为 2,子群   的原像是  :如果我们重复同一个反射,得到恒同。

  中,  的指数为 4: 如果重复同一个反射两次,我们得到了一个“旋转 2π”——  中的非平凡元可以理解为“旋转 2π”(每一个轴得出相同的元素)。

低维数

在 2 维,   的区别反映了一个正 2n 边形的二面体群循环群   的区别。

  中,一个正 2n 边形的二面体群的原像,视为子群  ,是 2n 边形的二面体群  ;然而在   中二面体群的原像是循环群  

在 1维,Pin 群共轭于第一个二面体群和循环群:

 

中心

不定 Pin 群

Spin(p,q) 有八种不同的二重复叠,对  ,这对应于用   中心扩张(中心不是   就是  )。只有其中两个称为 Pin 群,他们可以将 Clifford 代数作为一个表示。他们分别称为 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

命名

这个群的名称在 迈克尔·阿蒂亚拉乌尔·博特、A. Shapiro: Clifford modules(Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17)一文中引入,他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法:Pin 之于 Spin 就像 O(n) 之于 SO(n),从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步,词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同,这暗示了这个名称的起源于(或被归于)塞尔。[注 3]

注释

  1. ^ 事实上,他们可以作为 GL(V) 的子集相等而不仅仅是抽象的同构:保持一个形式的算子等且仅当保持其负形式。
  2. ^ 他们是不通代数的子代数  ,但是他们作为向量空间   的子集相等,而且带有相同的代数结构,从而他们自然同构。
  3. ^ 法语俚语“pine”意为“penis”,进一步,当说“Pin 群有 2 部分”(偶部分 Spin 和奇部分)暗示了两者近似的结构比较。[1]

参考文献

  1. ^ Pertti Lounesto. Re: Math jokes (dirty): Explanation. Newsgroupsci.math. 04 Dec 1993 09:36:24 GMT [2007-11-27]. LOUNESTO.93Dec4113624@dopey.hut.fi.