实变函数论

实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operator theory）中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估（英语：strong operator topology）。

序列

序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数^[1]。例如，一个实数的序列为以下定义的映射${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}}$ ，常会表示为${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$ 。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$  ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。

极限

极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值^[2]。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。

连续函数

若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中

${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbf {R} .}$ 

是一个定义在实数${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ 以内子集的函数，子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括${\displaystyle I={\boldsymbol {R}}}$ （所有实数）、以下的开区间

${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a<x<b\},}$ 

或闭区间

${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.}$ 

因此${\displaystyle a}$ 及${\displaystyle b}$ 是实数。

一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 为一致连续的条件是针对所有大于0的实数${\displaystyle \varepsilon }$ ，存在一实数${\displaystyle \delta >0}$ ，使得针对所有的${\displaystyle x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta }$ 即表示${\displaystyle \implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon }$ 。

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时，${\displaystyle \delta }$ 值只和${\displaystyle \varepsilon }$ 值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味着均匀连续。

级数

给定一无穷序列 ${\displaystyle (a_{n})}$ ，即可定义相关的级数为${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$ ，有时会简称为${\textstyle \sum a_{n}}$ 。级数的部分和${\textstyle \sum a_{n}}$ 为${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ 。级数${\textstyle \sum a_{n}}$ 收敛的条件是部分和的数列${\displaystyle (s_{n})}$ 收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和${\textstyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 定义为${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$ .

等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}$ .

以下的调和级数即为发散级数：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$ .

（此处“${\displaystyle =\infty }$ ”不是严谨的表示方式，只是表示部分和会无限制地増长）

微分

函数${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle a}$ 位置的导数为以下的函数极限

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ 

若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类${\displaystyle C^{0}}$ 包括所有连续函数，分类${\displaystyle C^{1}}$ 包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类${\displaystyle C^{1}}$ 是指其导数在分类${\displaystyle C^{1}}$ 中的函数。一般来说，分类${\displaystyle C^{k}}$ 可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类${\displaystyle C^{0}}$ 是所有的连续函数，而分类${\displaystyle C^{k}}$ （${\displaystyle k}$ 为正整数）是所有可微，而且其导数为${\displaystyle C^{k-1}}$ 的函数。而分类${\displaystyle C^{k}}$ 包括在分类${\displaystyle C^{k-1}}$ 中，对所有的正整数${\displaystyle k}$ 都成立。分类${\displaystyle C^{\infty }}$ 是所有${\displaystyle C^{k}}$ 的交集，其中${\displaystyle k}$ 为所有的非负整数。${\displaystyle C^{\omega }}$ 包括所有的解析函数，是分类${\displaystyle C^{\infty }}$ 的严格子集。

积分

黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令${\displaystyle [a,b]}$ 为实数下的封闭区间，则在区间${\displaystyle [a,b]}$ 内的标记分区为有限数列

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$ 

将区间${\displaystyle [a,b]}$ 分隔为${\displaystyle n}$ 个下标为${\displaystyle i}$ 子区间${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ，每一个用不同的点${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ 来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}$ 

则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ 为子区间${\displaystyle i}$ 的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度${\displaystyle \mathrm {max} _{i=1\ldots n}\Delta _{i}}$ 。函数${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle [a,b]}$ 内的黎曼积分等于${\displaystyle S}$ 若：

对所有${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，存在${\displaystyle \delta >0}$ 使得，对于任何有标示，且网格小于${\displaystyle \delta }$ 的区间${\displaystyle [a,b]}$ ，以下的式子成立

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$ 

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。

实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。

实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

• 实分析主题列表（英语：List of real analysis topics）
• 时标微积分
• 多实变数函数（英语：Function of several real variables）
• 实坐标空间（英语：Real coordinate space）
• 复分析