实变函数论

实分析,也称为实数分析实变函数论(英语:Real analysis、英语:Theory of functions of a real variable),是处理实数实函数数学分析。专门研究实数函数数列的解析特性,包括实数数列的极限,实函数的微分积分连续性光滑性以及其他相关性质。

方波傅立叶级数的前四项。傅立叶级数是实分析的一项重要工具

实分析常以基础集合论,函数概念定义等等开始。

内容

实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理,将实数变成完备有序。在一般集合论的公理下,可以证明这些公理都是明确的,也就是说有一个公理的模型,任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义,而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中的定义有关,这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是,实数形成有序域,实数的有序满足反对称性、传递性及完全性,属于全序关系,而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理,例如单调收敛定理介值定理中值定理

在实变分析中这些定理只针对实数,不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析算子理论英语operator theory中的概念是来自实数中概念的扩展,这类的扩展包括里斯空间英语Riesz space正算子英语positive operator的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部,例如算子数列的逐点评估英语strong operator topology

序列

序列是一个定义域可数全序集合的函数,多半会让定义域是自然数或是所有整数[1]。例如,一个实数的序列为以下定义的映射 ,常会表示为 。若一序列会慢慢的接近一个极限(也就是存在  ),称此序列为收敛,否则则称此序列为发散

极限

极限是指函数序列在其输入接近一定值时,其输出数值所接近的特定定值[2]。极限是微积分学及广义数学分析的基础,连续函数导数积分也是利用极限来定义。

连续函数

函数的输入及输出值都是实数,可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说,若函数图形是一条连续未分割的曲线,其中没有“洞”或是“断点”,函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义,在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的,因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续,在以下的定义中

 

是一个定义在实数 以内子集的函数,子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括 (所有实数)、以下的开区间

 

闭区间

 

因此  是实数。

一致连续是连续函数中,比连续函数更强的性质。若XY实数子集,函数 一致连续的条件是针对所有大于0的实数 ,存在一实数 ,使得针对所有的 即表示 

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时, 值只和 值有关,和该值在定义域中的位置无关。一般情况下,连续不意味着均匀连续。

级数

给定一无穷序列  ,即可定义相关的级数为 ,有时会简称为 。级数的部分和  。级数 收敛的条件是部分和的数列 收敛,否则级数即称为发散。收敛级数的和 定义为 .

等比数列的和就是一个收敛级数,也是芝诺悖论的基础:

 .

以下的调和级数即为发散级数:

 .

(此处“ ”不是严谨的表示方式,只是表示部分和会无限制地増长)

微分

函数  位置的导数为以下的函数极限

 

若导数在所有位置都存在,称函数为可微分,可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类 包括所有连续函数,分类 包括所有导数连续的可微函数,这类函数称为“连续可微”。分类 是指其导数在分类 中的函数。一般来说,分类 可以用递归方式定义,定义方式是宣告分类 是所有的连续函数,而分类  为正整数)是所有可微,而且其导数为 的函数。而分类 包括在分类 中,对所有的正整数 都成立。分类 是所有 的交集,其中 为所有的非负整数。 包括所有的解析函数,是分类 的严格子集。

积分

黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和,对应为一个区间内的标记分区(tagged partitions)。令 为实数下的封闭区间,则在区间 内的标记分区为有限数列

 

将区间 分隔为 个下标为 子区间 ,每一个用不同的点 来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

 

则和的每一项都是长方形的面积,其高为函数在给定子区间内,标示点的数值,宽和子区间的宽相等。令 为子区间 的宽,则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度 。函数 在区间 内的黎曼积分等于 若:

对所有 ,存在 使得,对于任何有标示,且网格小于 的区间 ,以下的式子成立
 

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值(或最小值),黎曼积分就会成为上(或下)达布和,因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念,可以将积分延伸到更大范围的函数,同时也拓展函数的定义域

分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分(例如单位阶跃函数)。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部分,探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数积分。实变分析专注在实数,多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中,很自然的会对全纯函数定义导数,全纯函数有许多有用的性质,包括多次可微、可以用幂级数表示,而且满足柯西积分公式

实变分析中也很自然的去考虑可微光滑函数调和函数,这些也常常用到,不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析,例如应用留数定理来计算实变函数的定积分

重要结果

实分析的重要结果包括波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理海涅-博雷尔定理介值定理中值定理微积分基本定理单调收敛定理

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间,包括巴拿赫空间希尔伯特空间

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参考资料

  1. ^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  2. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.