介值定理

数学分析中,介值定理(英语:intermediate value theorem,又称中间值定理)描述了连续函数在两点之间的连续性:

假设有一连续函数 ,且假设 ,若对任意数 满足 ,则存在一点 ,使得,当 时也有类似叙述。

直观地比喻,这代表在区间上可以画出一个连续曲线,而不让笔离开纸面。 或者可以这样说,函数的图像必然会穿过区间中的每一个点。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在这个证明中,他附带证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

定理

 
介值定理图解

假设 是一个实数里的闭区间,而 连续函数,那么其像集 也是区间。它或者包含 (如果 ),或者包含 (如果 )。换言之:

  •  ,

  •  .

介值定理通常以下述等价的形式表述:假设 是连续函数,且实数 满足  ,则存在 使得 

证明

先证明第一种情况 ;第二种情况也类似。

  内所有 的集合,使得 。那么 是非空的,因为  的一个元素,且 是上有界的,其上界为 。于是,根据实数的完备性最小上界   一定存在。我们来证明 

  • 假设 。那么 ,因此存在 ,使得当 时,就有 ,因为 是连续函数。但是,这样一来,当 时,就有 (也就是说,对于 内的   )。但参照上述定义,因为   , 因此存在 ,使得 , 所以我们有:  并且 , 这显然是矛盾的。
  • 假设 。根据连续性,存在一个 ,使得当 时,就有 。那么对于 内的 ,都有 ,因此存在大于  ,使得 ,这与 的定义矛盾。

因此 

与实数完备性的关系

此定理仰赖于实数完备性,它对有理数不成立。例如函数 满足 ,但不存在满足 的有理数 

零点定理(波尔查诺定理)

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲线上两点的值正负号相反,其间必定存在一个根:

设函数 在闭区间 上连续,且 ,则必存在 使 成立。由于零点定理可用来找一方程式的根,也称为勘根定理伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理,同时证明了这个定理的一般情况(即介值定理)。以现代的标准来说,他的证明并不算是非常严格。[1]

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对跖点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

参考资料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部链接