芝诺悖论

这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。

常见的叙述为芝诺提出的追着乌龟的阿基里斯，本悖论因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑，两者起点不同，乌龟的起点位于阿基里斯身前1000米处，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然领先他1米。芝诺认为，阿基里斯永远无法追上乌龟^[1]。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

悖论的解决

如果将阿基里斯步行的速度为每秒10m，乌龟爬行的速度为每秒0.1m， 并且在比赛之前，阿基里斯让乌龟先爬999m，在这种条件下，阿基里斯追赶乌龟所用的时间为：

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

这些数字，按其先后排列，可以构成一个无限序列：

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·  
 求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越乌龟。
换个角度说，阿基里斯之所以追不上乌龟，原因在于小前提“由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。”已经限制了阿基里斯追赶的时间(距离)。
因此会得到无限的时间序列。

求极限值

追乌龟亦涉及到极限是否存在的问题。譬如说，阿基里斯的速度改为10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。进行上述步骤后，总共所花的时间应表示为${\displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...}$ 。

其一，关于极限这个无限过程的意义，涉及到实无限（英语：Actual infinity）与潜无限（potential infinity）的讨论。潜无限的性质是无限过程无法完成，故上述级数虽然能无限逼近1，但不能说是等于1──故没有一个时间点（若有，必须是1）能代表乌龟被追上的时间。在潜无限的框架下，可以假设空间无法无限分割，如此一来此悖论就不存在了。但实无限的理论是，无限过程可以完成，即逼近的过程与其极限等价，故阿基里斯可以追上乌龟。现在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，关于要如何找到该无限过程的极限，欧拉曾提出“${\displaystyle 0.9999999999\dots =1}$ ”之证明如下：

令${\displaystyle S=0.99999999999\dots }$ 

则${\displaystyle 10S=9.9999999999\dots }$ 

两式相减可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}10S-S&=9.9999999999\dots -0.99999999999\dots \\9S&=9\\S&=1\end{aligned}}}$ 

故${\displaystyle 0.99999999999\dots =1}$ 

但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态。

这个悖论的问题在于，“飞行”的运动，是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内，这支箭是否移动。

另外，中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。

　ＡＡＡＡ　观众席Ａ

　ＢＢＢＢ　队列Ｂ・・・向右移动（→）

　ＣＣＣＣ　队列Ｃ・・・向左移动（←）

Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。

　ＡＡＡＡ

　　ＢＢＢＢ

ＣＣＣＣ

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自莫里斯·克莱因《古今数学思想》中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

在一个跟时间有关的系统中，如果牵涉到有限时间内，无限多次的操作，我们会称之芝诺现象或芝诺行为。一个简单的例子是球在地面上反弹到停止的过程。处理这个问题的方法，是直接假设停止的时间点，只考虑反弹，不去考虑无穷多次，以计算无穷多次反弹之后的结果。^{[来源请求]}

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