局部可积函数

设${\displaystyle \Omega }$ 为欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的一个开集。设${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ 是一个勒贝格可测函数。如果函数${\displaystyle f}$ 在任意紧集${\displaystyle K\subset \Omega }$ 上的勒贝格积分都存在：

${\displaystyle \int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,}$ 

那么就称函数${\displaystyle f}$ 为一个${\displaystyle \Omega }$ -局部可积的函数^[1]。所有在${\displaystyle \Omega }$ 上局部可积的函数的集合一般记为${\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$ ：

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.}$ 可测${\displaystyle \left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}}$ 

其中${\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}$ 指${\displaystyle \Omega }$ 包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间${\displaystyle (X,d\mu )}$ ，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[2]。

• 所有${\displaystyle \Omega }$ 上的连续函数与可积函数都是${\displaystyle \Omega }$ -局部可积的函数。如果${\displaystyle \Omega }$ 是有界的，那么${\displaystyle \Omega }$ 上的L²函数也是${\displaystyle \Omega }$ -局部可积的函数^[3]。
• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数${\displaystyle (X,d\mu )}$ ，也可以类似地定义其上的局部可积函数^[4]。
• 复数值的函数${\displaystyle f}$ 是局部可积函数，当且仅当其实部函数 ${\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}$ 与虚部函数 ${\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}$ 都是局部可积函数。实数值的函数${\displaystyle f}$ 是局部可积函数，当且仅当其正部函数 ${\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}$ 与负部函数 ${\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}$ 都是局部可积函数^[4]。

• 广义函数
• 测试函数