分布 (数学分析)

很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数${\displaystyle f}$ 与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察${\displaystyle f}$ 和一群“测量函数”${\displaystyle \varphi }$ 之乘积的积分：${\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}$ 。之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为分布，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说，分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求：

• 连续的函数属于分布；
• 可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作，而且结果应该也是分布，并且应该对应于原函数的微分/原函数；
• 基本的微积分法则适用于分布；
• 存在适当的收敛定理，可以对分布进行极限操作。

对每一个实数值的“测试函数”${\displaystyle \varphi }$ ，将它映射到积分${\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}$ ，就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为${\displaystyle f}$ 对应的分布。积分${\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}$ 的存在性取决于函数${\displaystyle f}$ 与${\displaystyle \varphi }$ 的乘积，所以对${\displaystyle \varphi }$ 要求越高，就能对越多的${\displaystyle f}$ 定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是紧支撑的函数空间D(R)，也就是满足以下两个条件的R射到R函数的集合：

1. 拥有任意阶的导函数，并且导函数连续，
2. 除了在某一个紧致集合（一般可以简化为一个有限区间）以外，函数的取值都是0.

一般来说，一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布${\displaystyle T}$ （作用在“测试函数”${\displaystyle \varphi }$ 上）的值一般使用类似内积的符号记为${\displaystyle \langle T,\varphi \rangle }$ 。当“测试函数”空间选为D(R)的时候，只要 ${\displaystyle f}$ 局部可积，就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为${\displaystyle T_{f}}$ ，以和${\displaystyle f}$  区分，而它的值就是：

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}$ 

对于概率分布函数${\displaystyle \mathbb {P} }$ ，也可以将它定义为分布${\displaystyle T_{\mathbb {P} }}$ 。对给定的一个测试函数${\displaystyle \varphi }$ ，可以定义分布${\displaystyle T_{\mathbb {P} }}$ 作用在${\displaystyle \varphi }$ 上的值是：${\displaystyle \langle T_{\mathbb {P} },\varphi \rangle =\int \varphi (x)\mathbb {P} (\mathrm {d} x).}$  这样定义下的${\displaystyle T_{\mathbb {P} }}$ 是线性的泛函，所以满足分布的定义。

除了对普通的函数可以定义分布，对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为：

${\displaystyle \delta _{0}(\varphi )=\varphi (0).}$ 

也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。

接下来，我们定义Rⁿ中开集U上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 Rⁿ 替换为任何（仿紧）光滑流形。

首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

检验函数空间

函数${\displaystyle \varphi }$ : U → R具有紧支撑集，当且仅当存在U的紧子集K，使得对任意 U\K 中的元素${\displaystyle x}$ ，都有${\displaystyle \varphi (x)=0}$ 。

定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的隆起函数）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下：

一列函数${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ 收敛到某个${\displaystyle \varphi _{\infty }\in D(\mathbf {U} )}$ ，当且仅当其满足以下两条性质：

1. 存在紧集${\displaystyle \mathbf {K} \subset \mathbf {U} }$ 包含所有${\displaystyle \varphi _{k}}$ 的支撑集：

   ${\displaystyle \bigcup _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset \mathbf {K} \subset \mathbf {U} .}$ 

2. 对任意多重指标${\displaystyle \alpha }$ , 偏微分序列${\displaystyle \left(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ 都一致收敛到${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{\infty }.}$ 

在如此定义下的拓扑中，D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间，且满足海涅－博雷尔定理，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D(U)上的泛函${\displaystyle u}$ 连续，当且仅当对任意收敛到零的${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ，都有${\displaystyle \lim _{k\to \infty }u(\varphi _{k})=0.}$ 

分布

U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} }$ （或复线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} }$ ）满足连续性，即对D(U)中任意的收敛函数列${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ，都有

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S(\varphi _{n})=S\left(\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}\right)}$ 

那么就称此泛函为U上的一个分布。

另一个更具可操作性的定义是，如果D(U)上的一个实线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} }$ （或复线性泛函${\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} }$ ）满足以下的条件：

对任意的紧子集${\displaystyle K\in \mathbf {U} }$ ，都存在${\displaystyle C_{K}>0}$ 和${\displaystyle p_{K}\in \mathbb {N} }$ ，使得对任意支撑集在${\displaystyle \operatorname {supp} (\varphi )\subset K}$ 的检验函数${\displaystyle \varphi }$ ，都有

${\displaystyle \langle S,\varphi \rangle \leqslant C_{K}\max _{|\alpha |\leqslant p_{K}}\sup _{x\in K}\vert \partial ^{\alpha }\varphi (x)\vert .}$ 

就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数${\displaystyle p}$ 使得对任意的${\displaystyle K\in \mathbf {U} }$ ，都有${\displaystyle p_{K}\leqslant p}$ ，那么最小的这样的${\displaystyle p}$ 称为这个分布的阶数（order），称${\displaystyle S}$ 为一个${\displaystyle p}$ 阶分布。

U上的分布集合记为D'(U)，是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素${\displaystyle S}$ 和D(U)中的元素${\displaystyle \varphi }$ 之间的对偶关系可以用尖括号表示：

${\displaystyle \mathrm {D} '(\mathbf {U} )\times \mathrm {D} (\mathbf {U} )\ni (S,\varphi )\mapsto \langle S,\varphi \rangle \in \mathbf {R} .}$ 

在弱＊拓扑下，D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'(U)中序列${\displaystyle \left(S_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ 弱＊收敛到${\displaystyle S}$ 当且仅当对于任意的检验函数${\displaystyle \varphi }$ ，有

${\displaystyle \langle S_{k},\varphi \rangle {\xrightarrow[{}]{k\to \infty }}\langle S,\varphi \rangle }$ 

函数对应的分布

一个局部可积函数${\displaystyle f:\quad \mathbf {U} \rightarrow \mathbf {R} }$ 是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的L^p可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函，也就是D'(U)中的一个元素，记作${\displaystyle T_{f}}$ 。线性泛函${\displaystyle T_{f}}$ 作用在D(U)中任一个检验函数${\displaystyle \varphi }$ 上的取值是：

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.}$ 

一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将${\displaystyle T_{f}}$ 和${\displaystyle f}$ 等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.}$ 

可以证明，两个局部可积函数${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，U上的每个Radon测度${\displaystyle \mu }$ 都有一个对应的分布${\displaystyle T_{\mu }}$ ，定义为：

${\displaystyle \langle T_{\mu },\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }\varphi \,\mathrm {d} \mu .}$ 

与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成${\displaystyle \scriptstyle {\langle \mu ,\varphi \rangle }}$ 。

可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布${\displaystyle S\in D\prime (\mathbf {U} )}$ 都是某个检验函数（分布）序列${\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ 收敛的极限。对任意的检验函数${\displaystyle \phi \in D(\mathbf {U} )}$ ，都有：

${\displaystyle \langle \varphi _{n},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle .\;}$ 

• 伪微分算子
• 里斯表示定理
• 模糊拓扑
• 弱解

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1. ^ 存档副本. [2022-11-14]. （原始内容存档于2022-11-14）.